Полярное, нормальное уравнение прямой.

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно определить, указав расстояние р от полюса О до данной прямой и угол а между полярной осью ОР и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой (см. рис.22).

Для любой точки М(г; j) на данной прямой имеем:

С другой стороны,

Следовательно,

(13)

Полученное уравнение (13) и есть уравнение прямой в полярных координатах.

Пусть прямая определяется заданием р и a (см. рис. 45). Рассмотрим прямоугольную систему координат Оху. Введем полярную систему, взяв О за полюс и Ох за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде

т.е.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные и полярные координаты, имеем: r cos j = x, r sin j = у. Следовательно, уравнение (13) прямой в прямоугольной системе координат примет вид

 

(14)

Уравнение (14) называется нормальным уравнением прямой.

 

Покажем, как привести уравнение (7) прямой к виду (14).

Умножим все члены уравнения (7) на некоторый множитель . Получим l Ах + l Ву + l С = 0. Это уравнение должно обратиться в уравнение (14). Следовательно, должны выполняться равенства:

l А = cos a, l В = sin a, l С = - р. Из первых двух равенств находим l ² А² + l ² В² = cos² a + sin² a, т. е. . Множитель l называется нормирующим множителем. Согласно третьему равенству

l С = - р знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.