Доказательство. Допустим, что среди элементов x1, x2, , xn имеется r линейно независимых элементов (обозначим x1, x2,Допустим, что среди элементов x1, x2,…, xn имеется r линейно независимых элементов (обозначим x1, x2,…, xr), а любые (r+1) из элементов x1, x2,…, xn линейно зависимы. Тогда каждый из элементов x1, x2,…, xn представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов x1, x2,…, xr, и поскольку по определению каждый элемент линейной оболочки L(x1, x2,…, xn) представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов x1, x2,…, xn, то каждый элемент указанной линейной оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию одних только элементов x1, x2,…, xr. Но это и означает, что система линейно независимых элементов x1, x2,…, xr образует базис линейной оболочки L(x1, x2,…, xn) и что размерность L(x1, x2,…, xn) равна r. Теорема доказана.
Пусть K1 и K2 – два произвольных подпространства одного и того же линейного пространства L. Определение. Совокупность всех элементов x пространства L, принадлежащих одновременно K1 и K2, образуют подпространство пространства L, называемое пересечением подпространств K1 и K2. Определение. Совокупность всех элементов пространства L вида x+y, где x – элемент подпространства K1, а y – элемент подпространства K2, образует подпространство пространства L, называемое суммой подпространств K1 и K2.
|
