Доказательство. Выберем в G произвольный ортонормированный базис e1, e2, , ek

Выберем в G произвольный ортонормированный базис e₁, e₂,…, e_k. Этот базис можно дополнить элементами f_k+1,…, f_n пространства E до базиса во всем E. Произведя процесс ортогонализации элементов e₁, e₂,…, e_k, f_k+1,…, f_n, мы получим ортонормированный элемент x пространства E. Разложив произвольный элемент x пространства E по этому базису, то есть представив его в виде x=x₁e₁+…+x_ke_k+x_k+1f_k+1+…+x_nf_n, мы получим, что этот элемент x однозначно представим в виде x=x^’+x^’’, где x^’= x₁e₁+…+x_ke_k совершенно определенный элемент G, а x^’’= x_k+1f_k+1+…+x_nf_n – совершенно определенный элемент ортогонального дополнения F (каждый элемент e_k+1,…, e_n ортогонален к любому из элементов e₁, e₂,…, e_k, а потому ортогонален любому элементу G; поэтому и линейная комбинация x_k+1f_k+1+…+x_nf_n ортогональна к любому элементу G, то есть является совершенно определенным элементом F). Теорема доказана.

1. Теорема об изоморфизме евклидовых пространств.

Определение. Два евклидовых пространства E и E^’ называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие так, что если элементам x и y пространства E отвечают соответственно элементы x^’ и y^’ пространства E^’, то элементу x+y отвечает элемент x^’+y^’, элементу λx (при любом вещественном λ) отвечает элемент λx^’ и скалярное произведение (x,y) равно скалярному произведению (x^’,y^’).

Теорема. Все евклидовы пространства одной и той же размерности n изоморфны между собой.