Доказательство. Достаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением ||x||=(x,x)1/2 справедливы аксиомы 1-3 из определения нормированного пространстваДостаточно доказать, что для нормы, определенной соотношением ||x||=(x,x)1/2 справедливы аксиомы 1-3 из определения нормированного пространства. Справедливость для нормы аксиомы 1 сразу вытекает из аксиомы 4 скалярного произведения. Справедливость для нормы аксиомы 2 почти непосредственно вытекает из аксиом 1 и 3 скалярного произведения. Остается убедиться в справедливости для нормы аксиомы 3, то есть неравенства ||x+y||≤||x||+||y||. Будем опираться на неравенство Коши-Буняковского (x,y)2≤(x,x)(y,y), которое перепишем в виде |(x,y)|≤(x,x)1/2(y,y)1/2. С помощью последнего неравенства, аксиом 1-4 скалярного произведения и определения нормы получим ||x+y||=(x+y,x+y)1/2=((x,x)+2(x,y)+(y,y))1/2≤((x,x)+(x,x)1/2(y,y)1/2+(y,y))1/2=([(x,x)1/2+(y,y)1/2]2)1/2=(x,x)1/2+(y,y)1/2=||x||+||y||. Теорема доказана. Следствие. Во всяком евклидовом пространстве с нормой элементов, определяемой соотношением ||x||=(x,x)1/2, для любых двух элементов x и y справедливо неравенство треугольника ||x+y||≤||x||+||y||. В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами x и y этого пространства. Угол ϕ между элементами x и y тот (изменяющийся от 0 до π) угол, косинус которого определяется соотношение cosϕ=(x,y)/||x|y||=(x,y)/(x,x)1/2(y,y)1/2 (данное определение угла корректно, ибо в силу неравенства Коши-Буняковского дробь, стоящая в правой части последнего равенства, по модулю не превосходит единицу). Определение. Два произвольных элемента x и y евклидова пространства E называются ортогональными, если скалярное произведение этих элементов (x,y) равно нулю (в этом случае косинус угла ϕ между элементами x и y будет равен нулю). Назовем сумму x+y двух ортогональных элементов x и y гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах x и y. Во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Поскольку x и y ортогональны и (x,y)=0, то в силу аксиом и определения нормы ||x+y||2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)=(x,x)+(y,y)=||x||2+||y||2. Запишем норму, неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника для конкретных евклидовых пространств. 1) В евклидовом пространстве всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения норма вектора a совпадает с его длиной |a|, неравенство Коши-Буняковского приводится к виду (a,b)2≤|a|2|b|2, а неравенство треугольника – к виду |a+b|≤|a|+|b| 2) В евклидовом пространстве C[a,b] всех функций x=x(t), определенныx и непрерывных на сегменте a≤t≤b со скалярным произведением, определенным как интеграл (в пределах от a до b) от произведений функций x(t) и y(t), норма элемента x=x(t) равна (∫bax2(t)dt)1/2, а неравенства Коши-Буняковского и треугольника имеют виду [∫bax(t)y(t)dt]2≤∫bax2(t)dt∫bay2(t)dt, (∫ba[x(t)+y(t)]2)1/2≤(∫bax2(t)dt)1/2+(∫bay2(t)dt)1/2 3) В евклидовом пространстве En упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (x,y)=(x1y1+…+xnyn) норма любого элемента x=(x1, x2,…, xn) равна ||x||=(x21+x22+…+x2n)1/2, а неравенство Коши-Буняковского и треугольника имеют вид (x1y1+x2y2+…+xnyn)≤(x21+x22+…+x2n)(y21+y22+…+y2n, [(x1+y1)2+…+(xn+yn)2]1/2≤(x21+x22+…+x2n)1/2+(y21+y22+…+y2n)1/2.
1, при i=k (ei,ek)= 0, при i≠k Для конкретности докажем, что такая система линейно независима. α1e1+…+αnen=0, умножим скалярно это равенство на ek (k от 1 до n). Мы получим αk=0 => e1, e2,…, en линейно независимы. Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.
|
Определение. Будем говорить, что n элементов e1, e2,…, en n-мерного евклидова пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна 1, то есть если
