Ступенчато-переменного сечения. Для балки (рис. Ж.3) требуется определить угол поворота концевого сечения.

 

Для балки (рис. Ж.3) требуется определить угол поворота концевого сечения.

 

 

Рисунок Ж.3 – Расчетная схема консольной балки

Решение: составляем таблицу исходных данных (табл. Ж.3).

Таблица Ж.3 – Данные для расчета консольной балки

№ участка	Геометрические параметры	Параметры жесткости
	0,4	0,4	0,2	0,2	0,8	0,8	2,6	6,5	3,6111
	0,4	0,4	0,6	0,6	0,4	0,4	1,8	4,5	2,500
	0,2	0,2	0,9	0,9	0,1	0,1		5	2,7778

Проверяем результаты заполнения таблицы, используя зави-симости:

.

По формулам (Ж.10) находим:

 

Формируем матрицу , пользуясь формой (Ж.9):

 

.

Формируем матрицы-столбцы по (Ж.13):

.

Используя рекуррентные зависимости (Ж.8), находим:

.

Вектор начальных параметров:

.

Согласно (Ж.6), имеем:

.

Заметим, что сечение 3, в котором определены концевые параметры, являющиеся компонентами вектора , находится правее точки приложения силы . Поэтому .

Для сравнения определим прогиб и угол поворота концевого сечения балки постоянного сечения, имеющей :

.

Ступенчатая балка в данном случае является более жесткой, чем фиктивная балка постоянного сечения при .

В рассмотренном примере матрицы перехода участков не использовались, так как не требовалось определять граничные параметры участков балки, и, кроме того, отсутствовала нагрузка на участках, расположенных левее правого концевого участка. Поэтому
при вычислениях вектора матрицы перехода не потребо-
вались (см. (Ж.8)).

В других случаях использование матриц перехода участков становится обязательным. Рекомендуемая последовательность расчета изложена в п. Ж.4.

При необходимости пользования левой системой координат, то есть при начале координат на правом конце участка и направлении оси влево, а оси – вверх, следует иметь в виду, что при составлении вектора внешние моменты , направленные против хода часовой стрелки, учитываются со знаком (+), а углы поворота сечений положительны, если сечения поворачиваются по ходу часовой
стрелки.

Подробнее этот вопрос рассмотрен в [15].

Приведенные в пп. Ж.3 и Ж.5 примеры расчетов балок ступенчато-переменного сечения показаны в общем виде, то есть без использования численных значений параметров расчетного объекта и действующей нагрузки (в буквенных обозначениях), имеют в основном иллюстративное значение, способствуя быстрому усвоению предложенной методики расчета.

С этой же целью подробно показаны необходимые действия с матрицами и приведены все промежуточные записи и числовые подстановки в расчетные формулы.

При выполнении расчета в численной форме, что в большинстве случаев расчетной практики и делается, организация вычислений сохраняется в соответствии с изложенным в пп. Ж.2 и Ж.4. При этом в таблицу записываются численные значения параметров заданной системы с указанием их единиц измерения (см. табл. Ж.1). Также численно представляются компоненты матриц перехода и матриц-столбцов.

В случае использования в расчете программируемого микрокалькулятора следует иметь в виду, что вычисление безразмерных коэффициентов податливостей целесообразно осуществлять по предварительно составленным программам, пользуясь данными таблицы Ж.1 и не прибегая к промежуточным записям. Так же легко по составленной программе может быть организовано перемножение матрицы перехода на матрицу-столбец (вектор) путем последовательного умножения ее строк на этот вектор.

При пользовании персональными ЭВМ могут быть предложены различные варианты программ, реализующие разработанные в настоящем пособии алгоритмы.

Расчет элементов конструкций ступенчато-переменного сечения может выполняться различными методами. Целесообразность выбора того или иного из них определяется как конструктивными особенностями расчетного объекта, так и действующей нагрузкой.

В [21] рассмотрена методика расчета на изгиб ступенчатого вала по способу замены его эквивалентной балкой постоянного сечения, имеющей те же перемещения, что и заданный ступенчатый вал.

К недостаткам такого подхода можно отнести:

– необходимость дополнительной схематизации конструкции, что требует определенных затрат времени;

– значительное усложнение нагрузки на получаемую фиктивную балку в сравнении с заданной исходной схемой за счет приложения дополнительных нагрузок на границах ступеней вала;

– неизбежность увеличения погрешностей в результатах расчета за счет округлений значений дополнительных нагрузок и большого их числа.

Этих недостатков можно избежать, если воспользоваться методом начальных параметров в матричной форме [21].

Однако изложенный в [21] алгоритм имеет другие недостатки:

1) число участков балки может значительно превышать число ее ступеней, так как границами участков являются не только границы ступеней, но и точки приложения внешних сил, что приводит к увеличению затрат времени на матричные операции и поэтому ставит под сомнение целесообразность применения микрокалькуляторов;

2) распределенная нагрузка в пределах каждого участка имеет постоянную интенсивность, более сложная нагрузка из рассмотрения исключена;

3) неизвестные начальные параметры определяются из граничных условий традиционным способом, что при матричной форме расчета нерационально;

4) отсутствуют контрольные операции, позволяющие проверить достоверность результатов расчета.

На основании ранее изложенного можно считать, что предложенные в настоящем пособии расчетные алгоритмы, свободные от перечисленных недостатков, могут успешно применяться в инженерной практике даже при "ручном" счете, с использованием микрокалькуляторов.

ПРИЛОЖЕНИЕ И

(справочное)