ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

 

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

 

Получим закон гармонических колебаний на примере механического движения механических колебаний. Это вид колебаний, при котором тело поочерёдно и многократно совершает отклонения от своего положения равновесия в одну и другую сторону.

Рассмотрим колебания пружинного маятника вдоль горизонтальной оси при отсутствии силы сопротивления. Пружинный маятник представляет собой массивный шарик массой m, прикрепленный к пружине с ничтожно малой массой и жесткостью k. Другой конец пружины закреплен неподвижно. Если вывести шарик из равновесия и отпустить, то под воздействием силы упругости деформированной пружины система пружина–шарик придет в колебательное движение. Положение шарика на оси будем определять смещением s, т.е. расстоянием от положения равновесия до шарика (рис.1). Наша цель решить основную задачу механики – найти ответ на вопрос: где будет находиться тело в произвольный момент времени t, т.е. найти вид функции s = f(t)?

Примем за начало отсчета точку 0, в которой находится центр шарика в равновесном состоянии системы, т.е. при отсутствии деформации в пружине. Пусть в момент времени t шарик находится на расстоянии s от положения равновесия. Характер движения в данный момент времени определяется равнодействующей приложенных к шарику сил: . Т.к. трение по условию отсутствует, а сила тяжести перпендикулярна стержню, то характер движения будет определяться только силой упругости деформированной пружины:

 

. (1)

В соответствии со 2-ым законом Ньютона эта сила сообщает шарику ускорение , тогда в скалярном виде (1) можно записать:

, (2)

но т.к. a = d²s /dt², то

. (3)

Разделим правую и левую часть (3) на m и обозначим k/m = . Сгруппировав все члены в левой части равенства, получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

или . (4)

 

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: к² + = 0, корни которого к_1,2 = ± i ω₀ – мнимые числа. Тогда общим решением (4) будет:

 

s= С₁cosω₀t + C₂sinω₀t. (5)

 

Для любых С₁ и С₂ всегда можно подобрать другие произвольные постоянные А и φ₀ такие, что С₁ = Аsin φ_0,1 а С₂ = Аcosφ_0,1, Тогда общее решение (5) примет вид:

 

s= А(sin φ_0,1·cosω₀t + cosφ_0,1·sinω₀t) = Аsin(ω₀t + φ_0,1). (6)

 

Если выражения для С₁ и C₂ поменять местами (С₁ = Аcosφ_0,2 а С₂ = Аsin φ_0,2), то общее решение будет иметь вид:

 

s= А(cos φ_0,2·cosω₀t + sinφ_0,2·sinω₀t) = Аcos(ω₀t + φ_0,2). (7)

 

Данные функции (6) и (7) и есть искомые кинематические уравнения гармонического колебания. Аргумент этой функции (w₀t + φ₀) называется фазой колебания; j₀ – постоянная составляющая фазы называется начальной фазой; – собственная циклическая (круговая) частота колебаний данного пружинного маятника (, , тогда ); А – амплитуда колебаний, в данном случае максимальное значение смещения s. В общем случае, амплитуда А – это наибольшее значение величины, изменение которой с течением времени выбрали для описания изучаемых колебаний. Графики гармонического колебания представляют собой синусоиды (рис.2):

 

Получим уравнения, описывающие изменения скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания. Пусть s = Аcos(ω₀t + φ₀), тогда:

 

, (8)

. (9)

 

Как видно, скорость и ускорение тоже изменяются по гармоническим законам, но скорость опережает по фазе смещение на p/2, а ускорение на p (рис.3), т.е. ускорение находится в противофазе со смещением. В целом, тела, на которые действуют равнодейству-ющие вида F = -ks (такие силы называются квазиупругими), будут совершать гармонические колебания.

Рассмотрим процесс колебательного движения с энергетической точки зрения. Смещая тело из положения равновесия, мы деформируем пружину, сообщая тем самым системе запас потенциальной энергии. Отпустив тело, мы даем ему возможность двигаться к положению равновесия. При этом потенциальная энергия системы превращается в кинетическую. В момент прохождения положения равновесия потенциальная энергия полностью превращается в кинетическую. Продолжая движение по инерции, тело опять деформирует пружину, т.е. кинетическая энергия начинает превращаться в потенциальную. В момент, когда кинетическая энергия полностью превра тится в потенциальную, смещение достигнет амплитудного значения, тело остановится и начнет двигаться обратно. Опять потенциальная энергия будет превращаться в кинетическую и т.д. (рис.4). Т.о., с точки зрения энергетической, механическое колебание – это процесс многократных, последовательных превращений потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

, (10)

, (11)

, (12)

 

т.е. полная энергия системы величина постоянная.