В условиях теоремы Ролля всегда существует хотя бы одна точка, касательная к которой параллельна оси OX.

2. Теорема Коши.

Пусть функции и непрерывны на отрезке [ a; b ] и дифференцируемы в интервале (a; b) и для всех x Î (a; b), тогда хотя бы для одной c Î (a; b).

Доказательство:

(по условию), , иначе удовлетворяет условию теоремы Ролля и существует c такая, что , что противоречит условию.

Рассмотрим функцию и докажем, что эта функция удовлетворяет условию теоремы Ролля.

F(x) непрерывна на [ a; b ] и дифференцируема в (a; b).

F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля, значит существует c Î (a; b) такая, что .

3. Теорема Лагранжа (о конечных приращениях).

непрерывна на [ a; b ] и дифференцируема в (a; b), тогда существует хотя бы одна точка c Î (a; b) такая, что

Доказательство:

В теореме Коши выберем , тогда теорема Коши будет иметь такой вид , но , получим , что требовалось доказать.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА.

На отрезке [ a; b ] всегда существует точка, касательная в которой параллельна секущей.

Пример: доказать , если .

Выберем и применим к ней теорему Лагранжа на отрезке [ a; b ], получим:

СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА:

1) Если для любого x Î[ a; b ], то .

Доказательство:

Выберем произвольно x ₁ < x ₂:

Ввиду произвольности выбора x ₁ и x ₂ f(x) = const.

2) Если , то .

Доказательство:

.

Пример: доказать

, что требовалось доказать.

4. Правило Лопиталя.

Предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношений их производных, если последний существует.

.

Доказательство:

Известно, что f(a) = 0, g(a) = 0, f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки a,

перейдем к пределу x ® a:

. Доказательство закончено.

ЗАМЕЧАНИЯ:

1) Правило выполняется при x ®¥.

2) Правило выполняется, если f(x) ®0, g(x) ®0, при x ® a.

3) Правило выполняется, если f(x) ®¥, g(x) ®¥, при x ® a.

Пример:

1)

2)

3)

4)

5) , так как