Свойства сходящихся числовых последовательностей

Определение 1. Число a называется пределом последовательности , если для любого положительного , сколь бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех выполняется неравенство

. (2.1)

Тот факт, что a является пределом последовательности , записывают так:

или . (2.2)

Если предел последовательности существует, то говорят также, что последовательность сходится.

Заметим, что номер N зависит от выбора , то есть .

Используя логические символы, это определение можно записать следующим образом:

.

Если изобразить числа , , и значения точками числовой оси, то получится геометрическая интерпретация предела последовательности (рис).

Какой бы малый промежуток длины с центром в точке a ни взять, все точки , начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого промежутка. Особый интерес вызывает случай, когда , который рассмотрим позднее.

Рассмотрим некоторые свойства сходящихся последовательностей, сформулировав их в виде теорем.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, равный a, и , то и члены последовательности , начиная с некоторого номера.

■ Пусть и . Подберем число так, чтобы ; для этого достаточно взять . Но тогда по определению предела найдется такой номер N, что для выполняется , а, следовательно, тем более . ■

Теорема 2. Если и , то и , начиная с некоторого номера.

Для доказательства следует применить предыдущее утверждение, выбрав .

Теорема 3. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

■ Так как , то по определению предела последовательности для . Но , следовательно, ; откуда для .

Обозначим . Тогда для всех n , что и означает ограниченность последовательности . ■

Теорема 4. Последовательность не может стремиться одновременно к двум различным пределам.

■ Предположим, что и , причем . Выберем любое число , . Так как и , то существует такой номер , что для (на основании теоремы 1). С другой стороны, так как и , то существует такой номер , что для . Тогда для N, большего и , одновременно и больше c и меньше c. Полученное противоречие доказывает утверждение. ■

3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой, если .

Если в определении 1 положить , то неравенство (2.1) примет вид . Следовательно, определение бесконечно малой последовательности может быть сформулировано следующим образом.

Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого существует такой номер N, что для .

( – бесконечно малая )

Пример 1. Последовательность является бесконечно малой.

В самом деле, лишь только . Следовательно, в качестве можно взять целую часть числа . Заметим, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно малой последовательности (если оно не нуль) не может рассматриваться как «малое». Дело в том, что это переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться меньшей произвольно выбранного числа .

Вернемся к общему случаю существования предела последовательности.

Если , то разность будет бесконечно малой, так как в силу (1) при .

Обратно, если – бесконечно малая, то . Эти рассуждения приводят к следующему утверждению.

Теорема 1. Для того, чтобы последовательность имела своим пределом число a, необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечно малой.

Итак, если , то , где – бесконечно малая, и обратно, если , то .

Бесконечно малым последовательностям противопоставляются в некотором смысле бесконечно большие последовательности.

Определение 3. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа существует такой номер , что для всех номеров .

Как и в случае бесконечно малых, следует заметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой не может рассматриваться как «большое». Это переменная величина, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться большей произвольно взятого числа M.

Пример 2. Последовательность является бесконечно большой, так как , лишь только . Следовательно, в качестве можно взять целую часть числа .

Если последовательность бесконечно большая, то говорят также, что она имеет предел или стремится к и записывают

().

Если при этом бесконечно большая сохраняет определенный знак, то в соответствии со знаком говорят, что или ( либо ).

(.)

Существует связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями, которая устанавливается теоремой 6.