Интеграл Фурье

Пусть функция задана на всей числовой прямой и абсолютна интегрируема на ней. Составим для интеграл, соответствующий в определенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по индексу заменено интегрированием по параметру :

, (31)

где , . (32)

Интеграл (31) аналогичен ряду Фурье периодической функции, только суммирование заменено интегрированием. Подставим (32) в (31), получим

 

.

Определение 8. Интеграл

(33)

называется интегралом Фурье функции .

Подобно тому, как при некоторых условиях периодическая функция раскладывается в ряд Фурье, так и при некоторых условиях , определенная на всей числовой представляется своим интегралом Фурье.

Теорема 17. Пусть:

1) кусочно-непрерывная на любом числовой прямой;

2) имеют всюду правую и левую производные, т.е. и для ;

3) интеграл сходится.

Тогда при любом имеет место равенство

. (34)

(Без доказательства.)

Вспомним понятие главного значения несобственного интеграла на действительной оси. Если интегрируема в собственном или несобственном смысле на любом отрезке числовой прямой (т.е. локально интегрируема), тогда

v.p. , (35)

где v.p. сокращение от value principle.

Отличие интеграла, стоящего справа, от интеграла слева в равенстве (35), состоит в том, что является пределом интегралов при произвольном стремлении , , а интеграл (35) предел тех же интегралов, но при и . Если существует несобственный интеграл, то существует и интеграл в смысле v.p., но не наоборот.

Например, не существует, а v.p. существует и равен нулю. Если – нечетная, то v.p. .

Пусть функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой прямой, и имеет в односторонние производные, тогда по теореме 15

.

Отсюда, в силу четности косинуса, следует, что

.

Рассмотрим функцию

Она непрерывна и абсолютно интегрируема по признаку Вейерштрасса, так как , а – абсолютно интегрируема. В силу нечетности синуса также нечетная, поэтому

v.p. .

Тогда

.

Перепишем полученное равенство

.

Определение 9. Отображение F, ставящее в соответствие функции функцию (или ), определяемое формулой

называется преобразованием Фурье.

Отображение , ставящее в соответствие функции , функцию , определяемую формулой называется обратным преобразованием Фурье. Из формулы ясно, что .

Контрольные вопросы

1. Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?

2. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.

3. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.

4. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.

5. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?

6. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.

7. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?

8. В чем состоит необходимое и достаточное условие сходимости к своему ряду Тейлора? Только достаточное? Приведите пример функции, к которой не сходится её ряд Тейлора.

9. Запишите разложения следующих функций в ряд Маклорена: .

10. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?

11. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.

12. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.

13. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций

14. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?

15. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.

16. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.