Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда

Теорема 4. (о перестановочности предельного перехода и суммирования).

а) Пусть выполняются условия:

1) последовательность равномерно сходится к функции на множестве ;

2) – предельная точка множества ;

3) существуют пределы .

Тогда последовательность сходится и

. (4)

б) Пусть выполняются условия:

1) ряд равномерно сходится к на ;

2) – предельная точка множества ;

3) существуют пределы .

Тогда ряд – сходится, причем

. (5)

‰ Доказательство выполним только для последовательности. Покажем, что последовательность сходится. Т.к. сходится равномерно на , то в силу критерия Коши (теорема 1) для такие, что и выполняется . Переходя к пределу в неравенстве при , так как , получим , т.е. последовательность фундаментальная, а это означает, что она сходится.

Докажем справедливость формулы (4). Возьмем . В силу равномерной сходимости для такое, что и выполняется

. (6)

Так как , то для выполняется

. (7)

Возьмем . Для этого N справедливы неравенства (6) и (7). Так как , то , что выполнится

при . (8)

Тогда будем иметь из (6) – (8):

,

т.е. <

Замечание. Поскольку , , то (4) можно записать

.

Таким образом, в случае равномерной сходимости и при существовании , порядок взятия предела можно изменять.

Аналогично для функциональных рядов имеем

.

Таким образом, если ряд равномерно сходится на множестве и существуют пределы , то операции предельного перехода и суммирования перестановочны.

Теорема 5. (о непрерывности предельной функции и суммы ряда).

а) Пусть последовательность непрерывных на отрезке функций равномерно сходится к на , тогда ее предел также непрерывная на [ a, b ] функция.

б) Пусть все члены ряда непрерывные на функции, а сам ряд сходится равномерно на , тогда его сумма также непрерывна на

‰ Доказательство для рядов. Пусть . Надо доказать, что непрерывна для . Возьмем и найдем предел в этой точке. Используя предыдущую теорему, получим

.

Аналогично для последовательности. <

Если последовательность непрерывных функций (ряд) сходится неравномерно, то ее предел (сумма ряда) может быть разрывной функцией.

Пример 11. на отрезке .

Решение. Члены ряда непрерывны на и .

,

т.е. получили, что – разрывная в точках .

Теорема 6. (о дифференцировании функциональных последовательностей и рядов).

а) Пусть задана последовательность , удовлетворяющая следующим условиям:

1) дифференцируема на для ;

2) последовательность сходится при некотором ;

3) последовательность равномерно сходится на .

Тогда последовательность равномерно сходится на отрезке к некоторой функции и (), причем

, . (9)

б) Пусть ряд удовлетворяет следующим условиям:

1) для дифференцируема на ;

2) ряд сходится при некотором ;

3) ряд сходится равномерно на .

Тогда ряд сходится равномерно на к некоторой функции , т.е. , и причем

.

‰ Доказательство приведем для последовательности. Покажем, что и сходится равномерно на . Используем критерий Коши. Пусть и . Из очевидного тождества

для

получим следующее неравенство

, .

Возьмем произвольное . Т.к. последовательность сходится равномерно на , то , что при всех и для выполнится

.

Так как сходится, то , что для выполняется

.

Тогда получаем

для и , следовательно, в силу критерия Коши, последовательность равномерно сходится на к .

Докажем равенство (9). Пусть – произвольная точка . Рассмотрим последовательность определенную на множестве и докажем, что она сходится равномерно. Рассмотрим . Применим к формулу Лагранжа или

.

Тогда

,

т.к. последовательность сходится равномерно.

Таким образом, для , что выполняется для и в силу равномерной сходимости . Откуда следует, что последовательность сходится равномерно на , причем

.

.

.

Поэтому , и по определению производной выполняется .

Тогда по теореме 1 последовательность сходится, причем . Так как произвольная точка , то теорема доказана. <

 

Таким образом, при выполнении условий теоремы операции предельного перехода и дифференцирования, а также суммирование и дифференцирование перестановочны.

Отметим, что если в теореме отбросить условие равномерной сходимости на , то теорема неверна.

 

Теорема 7. (об интегрировании функциональных последовательностей и рядов).

а) Пусть последовательность равномерно сходится к некоторой функции на отрезке , причем каждая имеет первообразную на . Тогда

.

б) Пусть ряд равномерно сходится на отрезке , причем каждая из функций имеет первообразную на . Тогда ряд сходится равномерно на , причем

, (9)

т.е. ряд можно почленно интегрировать.

‰ Докажем теорему для последовательностей. Положим , . Тогда причем

1) – дифференцируемая функция ;

2) последовательность – сходится;

3) последовательность сходится равномерно на .

Следовательно, последовательность по предыдущей теореме сходится равномерно на к некоторой функции причем

.

Отсюда следует, что

.

Таким образом, при на .

Подставляя , получаем, что . <

Пример 12. Рассмотрим ряд . Он равномерно сходится на , по признаку Вейерштрасса. Тогда его можно почленно интегрировать. Получим:

.

Так как любое число из (0, 1), то представление справедливо . Таким образом, можно приближенно вычислить логарифмы.