Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

 

Практическое занятие 9-2часа

Знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е.

(1), где . Такой ряд называется знакочередующимся.

Теорема (Лейбница). Если в знакочередующемся ряде (1) члены (2) - условие монотонного убывания и . То ряд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные (количество положительных и количество отрицательных членов бесконечно, т.к. если конечное плюс бесконечное, то можно отбросить конечное число членов).

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

 

Рассмотрим знакопеременный ряд

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин

 

(2)

 

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин (2).

 

Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд (1) сходится абсолютно, то он сходится.

Замечание. Теорема 1 является достаточным признаком сходимости знакопеременного ряда, но не необходимым:

Существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Введем понятие условной сходимости знакопеременного ряда.

Определение. Ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд из абсолютных величин расходится, а ряд сходится.

 

Пример 9.

Исследовать сходимость ряда.

.

Применим признак Лейбница. Так как

 

то

Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Далее, так как

то выполнено и второе условие. Значит, данный ряд сходится.

 

Пример 10.

Исследовать сходимость ряда

Первое условие признака Лейбница выполняется:

С другой стороны,

Так как , то не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ряд расходится.

Пример 11.

Исследовать сходимость ряда

Так как числа 1,7,13,19,25,31,… образуют арифметическую прогрессию с разностью , то . Исследуем на абсолютную сходимость:

По признаку Даламбера имеем

Следовательно, ряд сходится абсолютно.

 

Пример 12. Исследовать сходимость ряда

Исследуем на абсолютную сходимость:

Так как и ряд расходится, то абсолютной сходимости нет.

Исследуем на условную сходимость:

так как

1)

2)

То по признаку Лейбница ряд сходится условно.