Линеаризация нелинейных уравнений методом последовательных приближений
Общий метод решения этой задачи основан на допущении, что несовместность условных уравнений невелика, т.е. их невязки малы. Тогда, взяв из условной системы столько уравнений, сколько в ней неизвестных, их решением находим начальные оценки неизвестных . Полагая далее, что подставляя эти выражения в условные уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок получим
Переписав полученное выражение в виде
,
можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК
дает нам их оценки и СКО. Тогда Поскольку - неслучайные величины, то S2( ) = S2 (). Получив оценки можно сделать второе приближение и т.д.
Рисунок 6.1 - Графики аппроксимирующих функций
уравнения, раскладываем условные уравнения в ряды. Сохраняя лишь члены с первыми степенями поправок получим
Переписав полученное выражение в виде
,
можно видеть, что мы получили условную систему линейных уравнений относительно поправок . Решение этой системы с помощью МНК
дает нам их оценки и СКО. Тогда Поскольку - неслучайные величины, то S2( ) = S2 (). Получив оценки можно сделать второе приближение и т.д.
6.2 Пример выполнения контрольного задания
6.2.1 Задание
Определите вид и параметры функциональной зависимости Y=f(x, a0 a1), аппроксимирующей экспериментальную зависимость, приведенную в табл. 6.1. С доверительной вероятностью Р = 0, 95 найдите границы погрешности и определения параметров a0 и А1 функции.
6.2.2 Выполнение задания
1. Строим экспериментальную зависимость (рис. 6.2) и по ее виду, пользуясь рис. 6.1, задаем предполагаемый функциональный вид зависимости
Рисунок 6.2 - Экспериментальная зависимость
2. Поскольку эта зависимость нелинейная, необходимо привести ее клинейной. Для этого воспользуемся приемом линеаризации (см. п.п. 6.1.3). Вводя замену переменной , получаем .
Значения х* приведены в табл. 6.1.
Строим график полученной зависимости Y = /(**) (рис. 6.3) и убеждаемся в его линейности, т.е. вид функциональной зависимости задан правильно.
3. Определим параметры a0 и А1 зависимости (6.16) методом наименьших квадратов. Для этого находим значения сумм Гаусса: .
Нормальная система уравнений имеет вид
416, 2 = 20 +42, 3
982, 9 = 42, З + 102, 16
Таблица 6.1.
Экспериментальные и линеаризованные зависимости
x
| Y
| x*
| d
| Yопр
|
| 3.62
|
| 4.18*10-5
| 3.6200
|
| 9.25
| 0.6931
| -1.4018*10-3
| 9.2489
|
| 12.54
| 1.0986
| 1.6*10-3
| 12.5417
|
| 14.88
| 1.3863
| -2.033*10-3
| 14.8779
|
| 16.69
| 1.6094
| -2.73*10-4
| 16.6900
|
| 18.17
| 1.7918
| 9.69*10-4
| 18.1706
|
| 19.42
| 1.9459
| 2.391*10-3
| 19.4225
|
| 20.51
| 2.0794
| -3.477*10-3
| 20.5068
|
| 21.46
| 2.1972
| 3.159*10-3
| 21.4634
|
| 22.32
| 2.3026
| -9.04*10-4
| 22.3189
|
| 23.09
| 2.3979
| 3.012*10-3
| 23.2929
|
| 23.80
| 2.4849
| -4.75*10-4
| 23.7996
|
| 24.45
| 2.5649
| -8.07*10-4
| 24.4498
|
| 25.05
| 2.6391
| 1.759*10-3
| 25.0514
|
| 25.61
| 2.7080
| 1.285*10-3
| 25.6117
|
| 26.14
| 2.7726
| -4.108*10-3
| 26.1358
|
| 26.63
| 2.8332
| -1.173*10-2
| 26.6281
|
| 27.09
| 2.8904
| 2.527*10-3
| 27.0983
|
| 27.53
| 2.9444
| 1.053*10-3
| 27.5314
|
| 27.95
| 2.9957
| -2.348*10-3
| 27.5479
|
Рисунок 6.3 - Линеаризованная зависимость
По формулам (6. 17)-(6.19), находим =3, 6200418; =8, 1208432.
Подставляя оценки , в условную систему уравнений, получаем значения невязок , по формуле
Значения рассчитанных невязок приведены в табл. 6. 1.
4. Для определения оценок среднеквадратического отклонения , воспользуемся выражениями (6.20)-(6.21)
;
;
.
Для определения границ погрешностей нахождения , воспользуемся выражением (6.22), для чего по табл. Б.5 для числа степеней свободы п -т -1=18, находим для заданной вероятности Р д=0, 95
В этом случае , .
6.3 Варианты контрольных заданий
Таблица 6.2
Варианты 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43 ()
x
| 1)P=0.9
| 8)P=0.95
| 15)P=0.99
| 22)P=0.9
| 29)P=0.95
| 36)P=0.99
| 43)P=0.9
|
| 10.4
| 15.7
| 32.0
| 38.8
| 14.8
| 4.02
| 4.13
|
| 11.7
| 21.9
| 46.7
| 58.3
| 23.7
| 6.89
| 4.76
|
| 12.9
| 28.0
| 61.4
| 77.8
| 32.7
| 9.76
| 5.41
|
| 14.2
| 34.1
| 76.2
| 97.3
| 41.6
| 12.62
| 6.06
|
| 15.4
| 40.2
| 90.9
| 116.8
| 50.6
| 15.49
| 6.71
|
| 16.7
| 41.3
| 105.7
| 136.2
| 59.5
| 18.35
| 7.33
|
| 17.9
| 52.5
| 120.4
| 155.7
| 68.5
| 21.22
| 7.97
|
| 19.2
| 58.6
| 135.1
| 175.2
| 77.4
| 24.09
| 8.62
|
| 20.4
| 64.7
| 149.9
| 194.7
| 86.4
| 26.95
| 9.26
|
| 21.7
| 70.8
| 164.6
| 214.2
| 95.4
| 29.82
| 9.91
|
| 22.9
| 77.0
| 179.4
| 233.7
| 104.3
| 32.69
| 10.54
|
| 24.9
| 83.1
| 194.1
| 253.1
| 113.3
| 35.56
| 11.17
|
| 25.4
| 89.2
| 208.8
| 272.6
| 122.2
| 38.43
| 11.82
|
| 26.7
| 95.3
| 223.6
| 292.1
| 132.2
| 41.31
| 12.46
|
| 27.9
| 101.5
| 238.3
| 311.6
| 140.2
| 44.16
| 13.1
|
| 29.1
| 107.6
| 253.1
| 331.1
| 149.1
| 47.02
| 13.73
|
| 30.4
| 113.7
| 267.8
| 350.6
| 158.1
| 49.89
| 14.40
|
| 31.6
| 119.8
| 282.5
| 370.0
| 167.0
| 52.76
| 15.04
|
| 32.9
| 125.9
| 297.3
| 389.5
| 176.0
| 55.63
| 15.67
|
| 34.1
| 132.1
| 312.0
| 409.0
| 184.9
| 58.49
| 16.31
| Таблица 6.3
Варианты 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44 ()
x
| 2)P=0.9
| 9)P=0.95
| 16)P=0.99
| 23)P=0.9
| 30)P=0.95
| 37)P=0.99
| 44)P=0.9
|
| 0, 538
| 0, 38
| 1, 53
| 2, 00
| 3, 20
| 1, 91
| 37, 22
|
| 0, 547
| 0, 91
| 1, 80
| 2, 04
| 7, 37
| 2, 25
| 27, 87
|
| 0, 552
| 1, 51
| 1, 98
| 2, 07
| 12, 0
| 2, 65
| 20, 86
|
| 0, 556
| 2, 15
| 2, 12
| 2, 09
| 16, 95
| 3, 12
| 15, 62
|
| 0, 558
| 2, 84
| 2, 23
| 2, 11
| 22, 17
| 3, 67
| 11, 69
|
| 0, 561
| 3, 55
| 2, 33
| 2, 12
| 27, 60
| 4, 32
| 8, 75
|
| 0, 563
| 4, 30
| 2, 42
| 2, 13
| 33, 23
| 5, 08
| 6, 65
|
| 0, 564
| 5, 07
| 2, 50
| 2, 14
| 39, 01
| 5, 98
| 4, 91
|
| 0, 566
| 5, 87
| 2, 57
| 2, 15
| 44, 98
| 7, 04
| 3, 67
|
| 0, 567
| 6, 08
| 2, 63
| 2, 15
| 51, 01
| 8, 27
| 2, 75
|
| 0, 569
| 7, 62
| 2, 69
| 2, 16
| 57, 21
| 9, 73
| 2, 06
|
| 0, 570
| 8, 32
| 2, 75
| 2, 17
| 63, 51
| 11, 45
| 1, 55
|
| 0, 571
| 9, 24
| 2, 80
| 2, 17
| 69, 93
| 13, 47
| 1, 15
|
| 0, 572
| 10, 13
| 2, 85
| 2, 18
| 76, 45
| 15, 85
| 0, 86
|
| 0, 573
| 11, 03
| 2, 90
| 2, 18
| 83, 06
| 18, 64
| 0, 65
|
| 0, 574
| 11, 94
| 2, 94
| 2, 19
| 89, 76
| 21, 93
| 0, 48
|
| 0, 574
| 12, 87
| 2, 98
| 2, 19
| 96, 54
| 25, 80
| 0, 36
|
| 0, 575
| 13, 81
| 3, 03
| 2, 19
| 103, 41
| 30, 35
| 0, 26
|
| 0, 576
| 14, 77
| 3, 06
| 2, 20
| 110, 35
| 35, 70
| 0, 2
|
| 0, 577
| 15, 73
| 3, 10
| 2, 20
| 117, 37
| 42, 00
| 0, 15
| Таблица 6.4
Варианты 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45 ()
x
| 3)P=0.9
| 10)P=0.95
| 17)P=0.99
| 24)P=0.9
| 31)P=0.95
| 38)P=0.99
| 45)P=0.9
|
| 8, 45
| 6, 25
| 2, 71
| 2, 10
| 1, 54
| 0, 47
| 6, 11
|
| 9, 10
| 6, 79
| 2, 99
| 2, 33
| 1, 72
| 1, 67
| 9, 59
|
| 9, 81
| 7, 37
| 3, 29
| 3, 58
| 1, 93
| 3, 51
| 12, 48
|
| 10, 57
| 8, 00
| 3, 63
| 2, 86
| 2, 16
| 6, 02
| 15, 05
|
| 11, 39
| 8, 69
| 4, 00
| 3, 17
| 2, 42
| 9, 05
| 17, 39
|
| 12, 28
| 9, 44
| 4, 41
| 3, 51
| 2, 71
| 12, 72
| 19, 58
|
| 13, 23
| 10, 24
| 4, 86
| 3, 89
| 3, 03
| 16, 92
| 21, 64
|
| 14, 26
| 11, 12
| 5, 35
| 4, 31
| 3, 39
| 21, 65
| 23, 60
|
| 15, 37
| 12, 08
| 5, 90
| 4, 78
| 3, 80
| 26, 87
| 25, 48
|
| 16, 56
| 13, 11
| 6, 50
| 5, 30
| 4, 25
| 32, 66
| 27, 28
|
| 17, 85
| 14, 24
| 7, 17
| 5, 78
| 4, 76
| 38, 97
| 29, 03
|
| 19, 24
| 15, 46
| 7, 90
| 6, 51
| 5, 32
| 45, 73
| 30, 71
|
| 20, 73
| 16, 78
| 8, 70
| 7, 21
| 5, 96
| 53, 05
| 32, 35
|
| 22, 35
| 18, 22
| 9, 59
| 7, 99
| 6, 67
| 60, 83
| 33, 95
|
| 24, 08
| 19, 78
| 10, 57
| 8, 86
| 7, 49
| 69, 09
| 35, 50
|
| 25, 95
| 21, 48
| 11, 65
| 9, 82
| 8, 36
| 77, 84
| 37, 02
|
| 27, 97
| 23, 32
| 12, 84
| 10, 88
| 9, 36
| 87, 07
| 38, 51
|
| 30, 14
| 25, 32
| 14, 16
| 12, 06
| 10, 48
| 96, 76
| 39, 97
|
| 32, 49
| 27, 49
| 15, 60
| 13, 37
| 11, 73
| 106, 93
| 41, 40
|
| 35, 01
| 29, 84
| 17, 20
| 14, 82
| 13, 13
| 117, 56
| 42, 80
| Таблица 6.5
Варианты 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46 ()
x
| 4)P=0.9
| 11)P=0.95
| 18)P=0.99
| 25)P=0.9
| 32)P=0.95
| 39)P=0.99
| 46)P=0.9
|
| 10, 72
| 21, 90
| 18, 64
| 13, 03
| 10, 36
| 1, 63
| 15, 98
|
| 8, 95
| 13, 69
| 13, 24
| 10, 62
| 9, 06
| 1, 71
| 13, 15
|
| 7, 68
| 9, 96
| 10, 27
| 8, 96
| 8, 05
| 1, 79
| 11, 18
|
| 6, 72
| 7, 82
| 8, 39
| 7, 74
| 7, 24
| 1, 88
| 9, 72
|
| 5, 98
| 6, 44
| 7, 09
| 6, 82
| 6, 58
| 1, 98
| 8, 59
|
| 5, 39
| 5, 48
| 6, 14
| 6, 10
| 6, 03
| 2, 09
| 7, 01
|
| 4, 90
| 4, 76
| 5, 41
| 5, 51
| 5, 57
| 2, 22
| 6, 98
|
| 4, 49
| 4, 21
| 4, 84
| 5, 03
| 5, 17
| 2, 36
| 6, 38
|
| 4, 15
| 3, 78
| 4, 38
| 4, 62
| 4, 83
| 2, 52
| 5, 88
|
| 3, 85
| 3, 42
| 4, 00
| 4, 28
| 4, 52
| 2, 71
| 5, 45
|
| 3, 60
| 3, 13
| 3, 68
| 3, 98
| 4, 26
| 2, 92
| 5, 08
|
| 3, 37
| 2, 88
| 3, 40
| 3, 72
| 4, 02
| 3, 17
| 4, 75
|
| 3, 17
| 2, 67
| 3, 17
| 3, 49
| 3, 81
| 3, 46
| 4, 47
|
| 3, 00
| 2, 49
| 2, 96
| 3, 29
| 3, 62
| 3, 82
| 4, 22
|
| 2, 84
| 2, 33
| 2, 78
| 3, 11
| 3, 45
| 4, 27
| 3, 99
|
| 2, 70
| 2, 19
| 2, 62
| 2, 95
| 3, 29
| 4, 82
| 3, 79
|
| 2, 57
| 2, 07
| 2, 48
| 2, 81
| 3, 15
| 5, 54
| 3, 60
|
| 2, 45
| 1, 96
| 2, 35
| 2, 68
| 3, 02
| 6, 52
| 3, 44
|
| 2, 35
| 1, 86
| 2, 24
| 2, 56
| 2, 89
| 7, 91
| 3, 29
|
| 2, 25
| 1, 77
| 2, 13
| 2, 45
| 2, 78
| 10, 05
| 3, 15
|
Таблица 6.6
Варианты 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47 ()
x
| 5)P=0.9
| 12)P=0.95
| 19)P=0.99
| 26)P=0.9
| 33)P=0.95
| 40)P=0.99
| 47)P=0.9
|
| 0, 229
| 0, 0818
| 0, 0381
| 1, 1104
| 133, 1
| 2, 59
| 0, 17
|
| 0, 284
| 0, 09558
| 0, 0480
| 1, 1464
| 174, 1
| 4, 88
| 0, 35
|
| 0, 304
| 0, 1015
| 0, 0526
| 1, 1589
| 194, 1
| 6, 91
| 0, 56
|
| 0, 322
| 0, 1047
| 0, 0552
| 1, 1653
| 205, 7
| 8, 74
| 0, 78
|
| 0, 331
| 0, 1066
| 0, 0569
| 1, 1692
| 213, 7
| 10, 37
| 1, 04
|
| 0, 338
| 0, 1080
| 0, 0581
| 1, 1717
| 219, 2
| 11, 85
| 1, 33
|
| 0, 342
| 0, 1090
| 0, 0590
| 1, 1736
| 223, 3
| 13, 20
| 1, 65
|
| 0, 346
| 0, 1098
| 0, 0597
| 1, 1750
| 226, 5
| 14, 43
| 2, 03
|
| 0, 349
| 0, 1104
| 0, 0602
| 1, 1761
| 229, 1
| 15, 56
| 2, 46
|
| 0, 351
| 0, 1108
| 0, 0610
| 1, 1769
| 231, 2
| 16, 59
| 2, 97
|
| 0, 353
| 0, 1112
| 0, 0613
| 1, 1777
| 232, 9
| 17, 55
| 3, 57
|
| 0, 355
| 0, 1116
| 0, 0616
| 1, 1782
| 234, 4
| 18, 43
| 4, 29
|
| 0, 356
| 0, 1119
| 0, 0618
| 1, 1787
| 235, 6
| 19, 26
| 5, 18
|
| 0, 357
| 0, 1121
| 0, 0620
| 1, 1792
| 236, 7
| 20, 02
| 6, 29
|
| 0, 358
| 0, 1123
| 0, 0622
| 1, 1796
| 237, 6
| 20, 73
| 7, 75
|
| 0, 359
| 0, 1125
| 0, 0624
| 1, 1799
| 238, 5
| 21, 40
| 9, 69
|
| 0, 360
| 0, 1127
| 0, 0625
| 1, 1802
| 239, 2
| 22, 03
| 12, 47
|
| 0, 361
| 0, 1128
| 0, 0626
| 1, 1804
| 239, 9
| 22, 62
| 16, 71
|
| 0, 361
| 0, 1130
| 0, 0627
| 1, 1807
| 240, 9
| 23, 99
| 24, 04
|
| 0, 362
| 0, 1131
| 0, 0628
| 1, 1809
| 241, 1
| 23, 69
| 39, 69
| Таблица 6.7
Варианты 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48 ()
x
| 6)P=0.9
| 13)P=0.95
| 20)P=0.99
| 27)P=0.9
| 34)P=0.95
| 41)P=0.99
| 48)P=0.9
|
| 19, 35
| 1, 550
| 10, 383
| 1, 452
| 15, 155
| 3, 49
| 5, 14
|
| 32, 68
| 2, 760
| 18, 324
| 14, 785
| 15, 850
| 14, 22
| 13, 36
|
| 40, 48
| 3, 469
| 22, 969
| 22, 585
| 16, 257
| 20, 49
| 18, 17
|
| 46, 02
| 3, 972
| 26, 265
| 28, 118
| 16, 546
| 24, 95
| 21, 58
|
| 50, 31
| 4, 362
| 28, 821
| 32, 411
| 16, 769
| 28, 41
| 24, 23
|
| 53, 82
| 4, 681
| 30, 910
| 35, 917
| 17, 952
| 31, 23
| 26, 39
|
| 56, 78
| 4, 951
| 32, 676
| 38, 883
| 17, 107
| 33, 61
| 28, 22
|
| 59, 35
| 5, 184
| 34, 205
| 41, 451
| 17, 241
| 35, 68
| 29, 80
|
| 61, 62
| 5, 339
| 35, 555
| 43, 717
| 17, 359
| 37, 51
| 31, 20
|
| 63, 64
| 5, 574
| 36, 762
| 45, 744
| 17, 465
| 39, 14
| 32, 45
|
| 65, 68
| 5, 741
| 37, 854
| 47, 577
| 17, 561
| 40, 61
| 33, 58
|
| 67, 15
| 5, 893
| 38, 851
| 49, 251
| 17, 641
| 41, 96
| 34, 61
|
| 68, 69
| 6, 034
| 39, 768
| 50, 779
| 17, 728
| 43, 19
| 35, 56
|
| 70, 12
| 6, 163
| 40, 617
| 52, 216
| 17, 803
| 44, 35
| 36, 44
|
| 71, 45
| 6, 283
| 41, 407
| 53, 541
| 17, 872
| 45, 41
| 37, 26
|
| 72, 68
| 6, 396
| 42, 164
| 54, 786
| 17, 937
| 46, 41
| 38, 03
|
| 73, 85
| 6, 502
| 42, 841
| 55, 951
| 17, 997
| 47, 35
| 38, 75
|
| 74, 95
| 6, 603
| 43, 496
| 57, 050
| 18, 055
| 48, 23
| 39, 42
|
| 76, 99
| 6, 697
| 44, 115
| 58, 090
| 18, 109
| 49, 07
| 40, 06
|
| 76, 98
| 6, 786
| 44, 703
| 59, 076
| 18, 160
| 49, 87
| 40, 67
| Таблица 6.8
Варианты 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 ()
x
| 7)P=0.9
| 14)P=0.95
| 21)P=0.99
| 28)P=0.9
| 35)P=0.95
| 42)P=0.99
| 49)P=0.9
|
| 21, 68
| 29, 03
| 29, 88
| 22, 63
| 43, 22
| 21, 71
| 27, 89
|
| 12, 71
| 11, 56
| 16, 37
| 14, 73
| 16, 74
| 12, 61
| 16, 34
|
| 9, 72
| 5, 74
| 11, 86
| 12, 10
| 7, 91
| 9, 58
| 12, 49
|
| 8, 23
| 2, 83
| 9, 61
| 10, 78
| 3, 50
| 8, 07
| 10, 57
|
| 7, 33
| 1, 08
| 8, 26
| 9, 98
| 0, 85
| 7, 16
| 9, 41
|
| 6, 73
| -0, 09
| 7, 36
| 9, 46
| -0, 92
| 6, 55
| 8, 64
|
| 6, 30
| -0, 92
| 6, 72
| 9, 09
| -2, 18
| 6, 12
| 8, 09
|
| 5, 98
| -1, 54
| 6, 23
| 8, 80
| -3, 12
| 5, 79
| 7, 68
|
| 5, 73
| -2, 03
| 5, 86
| 8, 58
| -3, 86
| 5, 54
| 7, 36
|
| 5, 53
| -2, 41
| 5, 56
| 8, 41
| -4, 45
| 5, 34
| 7, 10
|
| 5, 37
| -2, 73
| 5, 31
| 8, 26
| -4, 93
| 5, 17
| 6, 89
|
| 5, 24
| -3, 00
| 5, 11
| 8, 14
| -5, 33
| 5, 03
| 6, 72
|
| 5, 12
| -3, 22
| 4, 94
| 8, 04
| -5, 67
| 4, 92
| 6, 57
|
| 5, 02
| -3, 41
| 4, 79
| 7, 96
| -5, 96
| 4, 82
| 6, 44
|
| 4, 94
| -3, 58
| 4, 66
| 7, 88
| -6, 21
| 4, 73
| 6, 33
|
| 4, 86
| -3, 72
| 4, 55
| 7, 82
| -6, 43
| 4, 65
| 6, 23
|
| 4, 80
| -3, 85
| 4, 45
| 7, 76
| -6, 63
| 4, 58
| 6, 15
|
| 4, 74
| -3, 97
| 4, 36
| 7, 71
| -6, 80
| 4, 53
| 6, 07
|
| 4, 68
| -4, 07
| 4, 28
| 7, 66
| -6, 96
| 4, 48
| 6, 01
|
| 4, 64
| -4, 16
| 4, 21
| 7, 62
| -7, 09
| 4, 43
| 5, 94
|
Приложение А - Законы распределения случайных величин
Равновероятное распределение (рис. А1, а).
Плотность распределения
Интегральная функция распределения
Параметры А - 0; E - -1, 2; tp=
Треугольное распределение (Симпсона) (рис. А1, б).
Плотность распределения
Интегральная функция распределения
Параметры A = 0; Е = -0, 6;
Нормальный закон (Гаусса) (рис. А1, в).
Плотность распределения
Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...
|
Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...
|
Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...
|
Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...
|
|
Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод исследования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом растворе...
Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...
Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...
|
|
Почему важны муниципальные выборы? Туристическая фирма оставляет за собой право, в случае причин непреодолимого характера, вносить некоторые изменения в программу тура без уменьшения общего объема и качества услуг, в том числе предоставлять замену отеля на равнозначный...
Тема 2: Анатомо-топографическое строение полостей зубов верхней и нижней челюстей. Полость зуба — это сложная система разветвлений, имеющая разнообразную конфигурацию...
Виды и жанры театрализованных представлений
Проживание бронируется и оплачивается слушателями самостоятельно...
|
|