Теоретические сведения. Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов – точные и приближенные

Числа, с которыми мы встречаемся на практике, бывают двух родов – точные и приближенные. Чаще всего удобно пользоваться приближенным числом вместо точного, тем более, что во многих случаях точное число вообще найти невозможно.

Результат действий с приближенными числами есть тоже приближенное число.

Теория приближенных вычислений позволяет: 1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов; 2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата; 3) рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точность результата.

Одним из источников получения приближенных чисел является округление. Округляют как приближенные, так и точные числа.

Округлением данного числа до некоторого его разряда называют замену его новым числом, которое получается из данного путем отбрасывания всех его цифр, записанных правее цифры этого разряда, или путем замены их нулями. Для обеспечения наибольшей близости округленного числа к округляемому следует пользоваться такими правилами: чтобы округлить число до единицы определенного разряда, надо отбросить все цифры, стоящие после цифры этого разряда, а в целом числе заменить их нулями. При этом учитывают следующее:

1) если первая (слева) из отбрасываемых цифр менее 5, то последнюю оставленную цифру не изменяют (округление с недостатком);

2) если первая отбрасываемая цифра больше 5 или равна 5, то последнюю оставленную цифру увеличивают на единицу (округление с избытком).

Разность между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного числа. Например, если точное число 1, 214 округлить до десятых, получим приближенное число 1, 2. В данном случае абсолютная погрешность приближенного числа 1, 2 равна 1, 214 - 1, 2, т.е. 0, 014.

Но в большинстве случаев точное значение рассматриваемой величины неизвестно, а только приближенное. Тогда и абсолютная погрешность неизвестна. В этих случаях указывают границу, которую она не превышает. Это число называют граничной абсолютной погрешностью. Говорят, что точное значение числа равно его приближенному значению с погрешностью меньшей, чем граничная погрешность. Например, число 23, 71 есть приближенное значение числа 23, 7125 с точностью до 0, 01, так как абсолютная погрешность приближения равна 0, 0025 и меньше 0, 01. Здесь граничная абсолютная погрешность равна 0, 01.

Граничную абсолютную погрешность приближенного числа а обозначают символом . Запись следует понимать так: точное значение величины x находится в промежутке между числами и , которые называют соответственно нижней и верхней границей и обозначают , .

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к величине приближенного числа. Отношение граничной абсолютной погрешности к приближенному числу называют граничной относительной погрешностью; обозначают ее так: . Относительную и граничную относительную погрешности принято выражать в процентах.

Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Например, найти сумму приближенных чисел 127, 42; 67, 3; 0, 12 и 3, 03.

Найти разность чисел: 418, 7 - 39, 832

II. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть е данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Например, умножить приближенные числа 3, 4 и 12, 32.

Решим задачу: площадь прямоугольной грядки приближенно равна 7, 6 кв. м, ширина -2, 38 м. Чему равна ее длина?

Длина грядки равна частному от деления 7, 6 на 2, 38.

Действие деления выполняют так:

Последнюю цифру частного 9 можно было и не писать, а, получив в частном две значащие цифры, заметив, что остаток больший половины делителя, округлить частное с избытком.

III. При возведении приближенных чисел в квадрат, и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

Примеры.

2, 32 = 5, 29 ≈ 5, 3;

0, 83 = 0, 512 ≈ 0, 5.

IV. В промежуточных результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

V. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну запасную цифру.

VI. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с k цифрами данные следует брать с таким числом цифр, которое дает согласно правилам I - IV цифру в результате.

Приближенные вычисления по способу границ

Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Пусть, например, надо сложить два числа:

и

Имеем: , , откуда .

Итак, ).

Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя - сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

; .

Аналогичные правила справедливы для умножения:

; .

Для обратных действий - вычитания и деления - соответствующие правила имеют такой вид:

.

.

Пример. Найти значение , если ; .

Решение. Определяем НГ и В Г каждого из чисел а, b, c и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа х.

Запись удобно оформить в виде такой таблицы.

Компоненты а b с а - b (а - b)с а + b x

НГ 9, 20 3, 03 2, 32 6, 13 14, 22 12, 23 1, 15

ВГ 9, 22 3, 07 2, 34 6, 19 14, 49 12, 29 1, 19