Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры





82.Из генеральной совокупности извлечена выборка

xi
mi

Найти несмещенные оценки генеральной средней и дисперсии.

Решение. 1) n = 16+12+8+14 = 50.

Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя

2) Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная дисперсия

.

; .

83.Случайная величина Х (число нестандартных изделий в партии изделий) распределена по закону Пуассона. Распределение задано таблицей

xi
mi

Найти методом моментов точечную оценку неизвестного параметра распределения Пуассона.

Решение. Согласно методу моментов для распределения с одним параметром, его оценка определяется из решения уравнения

.

Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона равно . Следовательно, получаем .

Итак, для оценки параметра необходимо найти выборочное среднее арифметическое значение:

;

84.Найти методом моментов по выборке , , …, точечные оценки неизвестных параметров а и b равномерного распределения.

Решение. Так как равномерное распределение определяется двумя параметрами, метод моментов сводится к решению системы уравнений

.

Поскольку, при равномерном распределении , , для определения оценок параметров a и b необходимо решить систему уравнений

Þ .

Итак, , .

85.Найти методом наибольшего правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра р биноминального распределения.

Решение. Запишем функцию правдоподобия для дискретной биноминально распределенной случайной величины. Так как при биноминальном распределении , где n – число опытов, m – количество испытаний в одном опыте, следовательно, функция правдоподобия имеет вид

· ·…· = .

Для простоты вычислений возьмем от функции L натуральный логарифм:

lnL=ln( )=ln(П ) +

Для нахождения экстремума функции ln(L) продифференцируем ее по переменной р:

Далее, для вычисления критических точек решим уравнение

(1)

Чтобы определить, будет ли полученное значение р являться точкой максимума, найдем вторую производную функции ln(L), и ее значение в точке . Если это значение меньше нуля то, полученная критическая точка, является точкой максимума.

Так как, 0≤р≤1, то согласно условию (1), получаем и из определения биноминального распределения поэтому для любого р, в том числе и для

Итак, значение является максимальным для функции правдоподобия, а, следовательно, и оценкой неизвестного параметра р биноминально распределенной случайной величины.

86.Найти методом наибольшего правдоподобия оценки параметров а и нормального распределения.

Решение. Для определения оценок параметров а и σ решим систему дифференциальных уравнений:

Так как функция плотности распределения нормальной случайной величины имеет вид ,

следовательно, функция правдоподобия

=

Тогда, ; ; - оценки параметров нормального распределения.






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1574. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия