Задача на безусловный экстремум

В основе методов решения классических задач оптимизации лежит теория дифференциального исчисления.

Пусть – действительная дважды непрерывно дифференцируемая функция аргумента , . Требуется найти наибольшее (или наименьшее) значение данной функции и такое значение аргумента (оптимальное решение), при котором этот экстремум достигается.

Если точка является точкой экстремума функции, то она является стационарной точкой функции, т.е. частные производные в этой точке равны нулю:

.

Таким образом, экстремумы функции следует искать среди ее стационарных точек. Однако, возможно, не каждая стационарная точка является точкой экстремума.

Для решения вопроса о наличии экстремума функции многих переменных в стационарной точке находят значения вторых частных производных в этой точке и из полученных чисел составляют матрицу, называемую матрицей Гессе:

.

Для того чтобы функция имела в стационарной точке локальный минимум, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке все главные диагональные миноры матрицы Гессе были положительны.

Для того чтобы функция имела в стационарной точке локальный максимум, необходимо и достаточно, чтобы у матрицы Гессе главные диагональные миноры нечетных степеней были отрицательны в этой точке, а миноры четных степеней - положительны.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Найдем стационарные точки функции из условий

Данная система имеет два решения

или

Найдены две стационарные точки: А (0; 0) и В (1/3; 1/3). Проверим, являются ли они точками экстремума. Составим матрицу Гессе и вычислим ее значение в точке А.

Вычислим главные диагональные миноры матрицы .

М₁ =0;

Следовательно, точка А не является точкой экстремума функции. Составим матрицу Гессе в точке В:

Вычислим главные диагональные миноры матрицы .

М₁ =4 > 0;

Следовательно, точка В является точкой минимума функции,

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Найдем стационарную точку из условий

Итак,

Исследуем статус этой точки, т.е. проверим, является ли она точкой экстремума. Для этого вычислим матрицу Гессе:

Вычислим главные диагональные миноры матрицы Гессе.

М₁ =2 > 0;

Минор второго порядка отрицателен, значит, в точке экстремума нет.