Теоретичні відомості. Математичний пакет MATLABвключає в себе низку підсистем, які виконують різні функціїМатематичний пакет MATLAB включає в себе низку підсистем, які виконують різні функції. Пакети MATLAB є унікальними наборами процедур для розв’язання найрізноманітніших математичних задач. Symbolic Math Toolbox – це адаптована до мови MATLAB версія системи комп’ютерної математики Maple фірми Waterloo Maple, Inc. Дана підсистема дозволяє використовувати принципи символьної математики, на основі якої можна виконувати такі рутинні операції, як розкриття дужок, перетворення виразів, знаходження коренів рівнянь, похідних функцій та виразів невизначених інтегралів, тощо, і які комп’ютер здійснює самостійно у символьному вигляді без практичного втручання в цей процес користувача. ЗНАХОДЖЕННЯ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ПРИ ЗАДАНИХ ЗНАЧЕННЯХ АРГУМЕНТУ. ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ ОПЕРАТОРІВ. Оскільки система MATLAB відноситься до матричних систем, передбачається внесення спеціальних коректив при визначенні операторів. У протилежному випадку це призводить до похибок при обчислюванні. Розглянемо приклад: x = 1 2 3 4 5 > > cos(x) ans = 0.5403 –0.4161 –0.9900 –0.6536 0.2837 Обчислення масиву косинусів пройшло коректно. В той же час при обчисленні функції sin(x) / x маємо: > > sin(x)/x ans = –0.0862 Обчислювання масиву значень функції sin(x) / x дає несподіваний результат – замість масиву з п’яти елементів отримано одне значення. Причина в тому, що оператор «/» обчислює відношення двох матриць, векторів або многомірних масивів. Якщо вони однієї розмірності, то 29 результат буде сформований одним числом, що і було здійснене системою у даному випадку. Щоб дійсно отримати вектор значень sin(x) / x, необхідно використати спеціальний оператор поелементного ділення масивів «. /». В цьому разі буде отриманий шуканий масив чисел: > > sin(x)./x ans = 0.8415 0.4546 0.0470 –0.1892 –0.1918 Наведений вище приклад має відношення і до таких операторів, як множення «.*»та зведення в ступінь «.^». Розглянемо інший приклад. Обчислимо наведену вище функцію, але значенням змінної буде така сукупність: x = {0; 1; 2; 3; 4; 5}: > > x=0: 5; > > sin(x)./x Warning: Divide by zero. (Type " warning off MATLAB: divideByZero" to suppress this warning.) ans = NaN 0.8415 0.4546 0.0470 –0.1892 –0.1918 Зауважимо, що при x = 0 значення sin(x)/x дає переборну невизначеність виду 0/ 0 =1 (Увага: Ділення на нуль). Однак, як і іншачисельна система, MATLAB класифікує спробу розглядання операції діленняна 0 як помилку, та виводить відповідне попередження. Але замість очікуваного чисельного значення виводиться символьна константа NaN, що позначає невизначеність виду 0/ 0 (зауважимо, що невизначеність не є звичайним числом, а символом). Розглянемо приклади обчислювання функцій при заданому діапазоні значень змінної. Приклад 1. Обчислити значення функції y = e -2 x sin x + log2 x при 0.2. x. 4, D x = 0.5-ю Розв’яжемо задачу за допомогою наступних команд: > > format long > > x=0.2: 0.2: 4; > > y=exp(–2*x).*sin(x)+log(2*x) y = Columns 1 through 4 –0.78311869690974 –0.04816661095642 0.35238860158033 0.61483532616061 Columns 5 through 8 0.80702789462431 0.96002141561858 1.08954467697576 1.20389563290425 Columns 9 through 12 1.30754298783413 1.40294872443208 1.49153072608432 1.57417480903071 Columns 13 through 16 1.65150242211403 1.72400533826702 1.79210927075520 1.85620099838305 Columns 17 through 20 1.91663799685337 1.97375064653913 2.02784204213370 2.07918766272596 Зверніть увагу, що результати обчислювання надані у форматі long. Рекомендуємо виконати самостійно таке ж саме обчислювання у форматі short. Для зручності аналізу, а також для показу можливостей системи MATLAB, можна побудуати графік обчислюваної функції за допомогою елементарної команди побудови графіків plot (детальніше графічні можливості MATLAB будуть наведені у лабораторній роботі № 3). В даному прикладі розширимо діапазон значень аргументу x при обчислювані функції: > > x=0.2: 0.2: 10; > > y=exp(–0.2*x).*sin(x)+log(2*x); > > plot(x, y); grid on
Рисунок 1.1 – Графік функції y = e -2 x sin x + log 2 x в полі графічного вікна ПРАВИЛА ВИКОРИСТАННЯ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ. ЕЛЕМЕНТАРНІ ОПЕРАЦІЇ КОМПЛЕКСНИМИ ЧИСЛАМИ ТА ФУНКЦІЯМИ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТУ.
В системі MATLAB дозволяється виконувати обчислення з комплексними числами. Нагадаємо, що такі числа містять дійсну й мниму частини: z = x + i. y = Re(z) + i Im(z). Мнима частина має множник i або j, який називається мнимою одиницею (i = -1): > > b=5*(2.2+3.9i)+0.8 b = 11.8000 +19.5000i Якщо коефіцієнтом при мнимій одиниці не є число, то при вводі такого комплексного числа необхідно користуватись знаком множення. Наприклад, замість виразу a + ib треба вводити a + i * b, щоб програма не видала повідомлення про помилку. Найпростіші операції з комплексними числами: операція додавання «+», операція віднімання «–», операція множення «*», операція ділення зліва направо «/», операція ділення справа наліво «\», операція піднесення до степеня «^». Ці операції здійснюються за допомогою арифметичних знаків, що наводяться у дужках, наприклад: > > format long; > > x=2+3i; > > y=–2+5i; > > disp(x+y) 0 +8.000000000000000e+000i > > disp(x–y) 4.000000000000000e+000 –2.000000000000000e+000i > > disp(x/y) 3.793103448275862e–001 –5.517241379310345e-001i > > disp(x*y) –1.900000000000000e+001 +4.000000000000000e+000i > > disp(x\y) 8.461538461538463e-001 +1.230769230769231e+000i > > disp(x^y) –1.482729564776616e–004 –5.450608337156012e–004i У даному фрагменті використовується функція disp (від слова «дисплей»), що дозволяє виводити в командне вікно результати обчислень або будь–який текст. При цьому результат обчислень (число) виводиться без вказівки імені змінної чи імені ans, яким звичайно повинен присвоюватись результат. При використанні комплексних аргументів є можливість обчислити всі елементарні математичні функції, що задаються в системі MATLAB. Наприклад: > > x=2+3i; y=–1+5i; > > disp (sqrt(x)) 1.674149228035540e+000 +8.959774761298381e–001i > > disp (sin(x)) 9.154499146911430e+000 –4.168906959966565e+000i > > disp (exp(y)) 1.043534862696817e–001 –3.527685262888061e–001i > > disp (abs(y)) 5.099019513592785e+000 У системі MATLAB існують кілька додаткових функцій, розрахованих лише на комплексний аргумент. За допомогою наведених вище команд можна виконати наступні операції: > > x=2+3i; y=–1+5i; > > disp (real(y)) –1 > > disp (imag(x)) > > disp (angle(x)) 9.827937232473291e–001 > > disp (conj(y)) –1.000000000000000e+000 –5.000000000000000e+000i Звернемо увагу на існування спеціальної функції cplxpair(V). Дана функція здійснює сортування заданого вектора (V) з комплексними елементами таким чином, що комплексно-спряжні пари цих елементів розташовуються у вихідному векторі у порядку зростання їх дійсних частин. При цьому елемент з від’ємною уявною частиною завжди розташовується першим.
ПІДСИСТЕМА SYMBOLIC MATH TOOLBOX. КОМАНДИ ТА ФУНКЦІЇ СИМВОЛЬНИХ ОБ’ЄКТІВ.
Підсистема Symbolic Math Toolbox – пакет прикладних програм, що дають системі MATLAB принципово нові можливості, — можливості розв’язку задач в символьному (аналітичному) вигляді, що включають реалізацію точної арифметики довільної розрядності. Пакет базується на застосуванні ядра символьної математики однієї з наймогутніших систем комп'ютерної алгебри — Maple V R4. Symbolic Math з абезпечує виконання символьного диференціювання і інтегрування, обчислення сум і добутків, розкладання в ряди Тейлора і Маклорена, операції з поліномами, обчислення коренів поліномів, розв’язок в аналітичному виді нелінійних рівнянь, різні символьні перетворення, підстановки, тощо. Пакет дозволяє готувати процедури з синтаксисом мови програмування системи Maple V R4 і встановлювати їх в системі MATLAB. Але по 33 можливостях символьної математики пакет сильно поступається спеціалізованим системам комп'ютерної алгебри, таким як нові версії Maple і Mathematica. Для одержання переліку доступних в системі MATLAB команд системи символьної математики Maple можна звернутися до довідкової системи та набрати назву команди у рядку вводу команди: > > help symbolic У процесі виконання команд Symbolic Math Toolbox результати надаються змінним MATLAB і можуть бути використані у інших режимах обчислювання, візуалізації і т.д. [20, c.453]. Для одержання довідки про математичні команди із символьного пакету Symbolic Math Toolbox варто попереду імені команди записати префікс sym: > > help sym/diff DIFF Differentiate. DIFF(S) differentiates a symbolic expression S with respect to its free variable as determined by FINDSYM. DIFF(S, 'v') or DIFF(S, sym('v')) differentiates S with respect to v. DIFF(S, n), for a positive integer n, differentiates S n times. DIFF(S, 'v', n) and DIFF(S, n, 'v') are also acceptable. Examples; x = sym('x'); t = sym('t'); diff(sin(x^2)) is 2*cos(x^2)*x diff(t^6, 6) is 720. See also INT, JACOBIAN, FINDSYM. Існує інший вариант отриманнч довідки про команду з системи Maple, наприклад, у формі наступного запиту: > > mhelp diff Рекомендуємо виконати цей запис та ознайомитися з наданою інформацією. Для роботи з командами ядра системи Maple у MATLAB визначено новий тип об’єкту sym – символьний об’єкт (symbolic object). Для проведення аналітичних операцій інтегрування, диференціювання та інших потрібно, щоб відповідні аргументи функцій були попередньо оголошені. Група символьних змінних може бути створена за допомогою описувача syms. Наприклад: > > syms s1 s2 Для введення однієї символьної змінної можна застосувати команду sym: > > s3=sym('s3') s3 = s3 Нова символьна змінна, яка виражається через попередньо задані змінні, може бути визначена наступним чином: > > s4=(cos(s1)*s2+sqrt(5)*s3) s4 = cos(s1)*s2+5^(1/2)*s3 Для представлення аналітичного виразу в більш звичайній для розуміння формі використовується команда pretty: > > pretty(s4) 1/2 cos(s1) s2 + 5 s3 Виявити символьні змінні у заданому виразі дозволяє команда findsym: > > findsym(s4) ans = s1, s2, s3 Команда sym використовується також для введення абстрактної функції: > > f=sym('f(x)') f = f(x) АНАЛІТИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ КОМАНД ПІДПАКЕТУ SYMBOLIC MATH TOOLBOX. Робота у системі MATLAB відрізняється від прийнятого у системі Maple стилю. Наприклад, треба визначити модуль комплексного виразу: > > syms x y real; az=abs(x+i*y) (x^2+y^2)^(1/2) Надамо змінній y числове значення і застосуємо змінну az, яка містить змінну y: az = > > y=1; az az = (x^2+y^2)^(1/2) Автоматичної підстановки значення змінної не відбулося. У системі MATLAB треба звернутися до спеціальної команди subs, щоб привласнити змінним, що приймають участь у виразі аz ті значення, які вони отримають в процессі розрахунків: > > subs(az) ans = (x^2+1)^(1/2) Команда subs має наступний формат: > > subs(s, old, new), де s – вираз, у якому злійснюється підстановка нових виразів (new) замість існуючих (old), де new, old – символьні змінні, рядки, визначені за допомогою квадратних дужок. Наприклад: > > syms x y > > z=x^2+y^2 z = x^2+y^2 > > d=subs(z, [x, y], [cos(x), sin(x)]) d = cos(x)^2+sin(x)^2 Автоматичного спрощення виразу не відбувається. Щоб реалізувати процес спрощення, використовуємо команду simplify: > > simplify(d) ans = Крім потужної багатоцільової команди simplify у системі MATLAB заслуговує уваги команда simple, яка дає можливість переглянути результати застосовування різних операцій. Розглянемо результат дії команди simple у випадку елементарного підведення у квадрат змінної d: > > simple(d^2) simplify: radsimp: (cos(x)^2+sin(x)^2)^2 combine(trig): factor: (cos(x)^2+sin(x)^2)^2 expand: cos(x)^4+2*cos(x)^2*sin(x)^2+sin(x)^4 combine: convert(exp): ((1/2*exp(i*x)+1/2/exp(i*x))^2–1/4*(exp(i*x)– 1/exp(i*x))^2)^2 convert(sincos): (cos(x)^2+sin(x)^2)^2 convert(tan): ((1– tan(1/2*x)^2)^2/(1+tan(1/2*x)^2)^2+4*tan(1/2*x)^2/(1+tan(1/2 *x)^2)^2)^2 collect(x): (cos(x)^2+sin(x)^2)^2 ans = Наведемо назви команд для аналітичних операцій, які застосовуються у випадку перетворення виразів: · subs – оперція підстановки; · subexpr – операція запису з підстановками та використовуванням проміжних величин; · simplify – операція спрощення виразу; · simple – операція спрощення виразу з перерахуванням варіантів; · expand – операція розкриття дужок; · factor – операція розкладання виразу на множники; · collect – операція перетворення вираження в поліном з виділенням коефіцієнтів при ступенях заданих змінних; · numden – операція приведення до раціональної форми;
|
