Математические модели сигналовПример 1. Случайная величина – число бросаний монеты до первого выпадания герба. Найти: а) ряд распределения случайной величины , б) математическое ожидание , в) математическое ожидание двоичного логарифма вероятности . Решение. Возможные значения случайной величины равны 1, 2, 3,.... Для осуществления события необходимо, чтобы в первых -1 бросаниях выпадали решетки, а в n -м бросании выпал орел, поэтому по формуле умножения вероятностей независимых событии. Ряд распределения дан в табл. 1. Математическое ожидание числа бросаний вычислим по формуле (1.2) [1], положив , Математическое ожидание двоичного логарифма вероятности X также вычисляем по формуле (1.2) [1], положив , т. е.
Пример 2. По двоичному каналу связи с помехами (рис. 1) передаются сообщения и с априорными вероятностями и . Влияние помех описывается переходными вероятностями: , , , . Найти: а) безусловные вероятности сигналов на выходе канала; б) наиболее вероятное значение , если ; в) наиболее вероятное значение , если . Решение. Совместные вероятности сообщения и сигнала вычисляем по формуле умножения вероятностей (1.8) [1]: , , . Безусловные вероятности сигналов на выходе канала вычислим по формуле полной вероятности (1.7) [1]: , . Условные вероятности сообщений на входе находим по формуле Байеса (1.9) [1]: , , , . Сравнив и , видим, что если принят сигнал , то более вероятно, что было передано сообщение . Сигнал мог быть с одинаковой вероятностью вызван сообщениями и . Пример 3. Сигнал на выходе непрерывного канала связи выражается через входной сигнал соотношением , где – аддитивный нормальный стационарный белый шум с односторонней спектральной плотностью В/Гц, ограниченный полосой от 0 до МГц. Суммарная мощность составляющих в спектре сигнала , лежащих вне указанной полосы, пренебрежимо мала. Осуществить квантование по времени сигнала на интервале от 0 до секунды. Для конкретной реализации входного сигнала (в вольтах) найти для квантованного сигнала: а) вектор условных математических ожиданий; б) условную корреляционную матрицу; в) условную плотность вероятности квантованного сигнала на выходе. Решение. Чтобы осуществить квантование непрерывного по времени сигнала , необходимо взять его отсчеты в моменты времени , , где . Верхняя граничная частота суммы сигнала с шумом равна , поэтому шаг квантования определяется в соответствии с теоремой Котельникова мкс. Требуемое число отсчетов равно . Каждый отсчет сигнала является суммой двух величин , где - отсчет сообщения; - отсчет шума. Вектор условных математических ожиданий сигнала состоит из следующих элементов и определяется только передаваемым сообщением, так как математическое ожидание белого шума равно нулю. Условная корреляционная матрица B сигнала при фиксированном состоит из следующих элементов и равна корреляционной матрице отсчетов шума. Элементы этой матрицы есть отсчеты корреляционной функции шума . Шум стационарен, поэтому его корреляционная функция зависит от разности аргументов и может быть найдена по теореме Винера – Хинчина (1.21) [1] , где – спектр плотности мощности шума. По условию задачи, он равномерен в полосе 0… , Находим выражение для корреляционной функции . Поскольку , то . Отсюда видно, что при т.е. отсчеты , взятые с шагом квантования , некоррелированы. Таким образом, в корреляционной матрице отсчетов сигнала не равны нулю будут только элементы, стоящие на главной диагонали, , численно равные дисперсии этих отсчетов (вольт2). Условная плотность вероятности квантованного сигнала есть совместная плотность вероятности системы некоррелированных (следовательно, и независимых) нормальных случайных величин .
Пример 4. Доказать, что для любой положительной случайной величины (имеющей только положительные возможные значения) при справедливо неравенство Иенсена . Доказать, что для любой системы случайных величин и любой функции , таких, что при всех возможных значениях системы, справедливо аналогичное неравенство . Найти необходимые и достаточные условия, при которых неравенства обращаются в равенства. Решение. Сначала убедимся, что непрерывная функция является строго выпуклой вверх, т.е. ее вторая производная отрицательна при любых . Действительно, , при . Следовательно, график функции лежит ниже касательной, проведенной в любой точке (рис. 2): , причем знак равенства выполняется только в точке касания . Предположим, что – положительная случайная величина, тогда полученное неравенство справедливо для любого из ее возможных значений и, следовательно, при усреднении обеих частей знак неравенства сохранится: . Выбрав абсциссу точки касания , получим окончательно . Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда все возможные значения случайной величины , т.е. если величина X не случайна. Пусть случайная величина получена в результате функционального преобразования системы случайных величин , тогда в силу доказанного неравенства имеем . Это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда величина не случайна.
|