Тема 4: Конус

Форму конуса имеют терриконы и вулканы, воронки и колбы и многие другие окружающие нас предметы.

Конус является телом вращения и описывает прямоугольный треугольник при вращении его около катета как оси. Поверхность конуса состоит из круга в основании конуса и боковой поверхности.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками его основания, называются образующими конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость его основания, а также длина этого перпендикуляра. Высота конуса называется также осью.

Прямым круговым конусом или конусом вращения называется конус, основание которого круг, а высота попадает в центр этого круга.

Фигура, состоящая из образующих конуса вращения, которые соединяют его вершину с точками окружности основания, называется боковой поверхностью этого конуса. Она сама является конусом с той же вершиной, основанием ее служит окружность основания конуса вращения.

Поверхностью конуса вращения называется объединение его основания и его боковой поверхности. (Иногда поверхность конуса называют его полной поверхностью.)

Усеченным конусом называется пересечение конуса с полупространством, содержащим основание конуса и ограниченным плоскостью, которая параллельна плоскости основания конуса и пересекает данный конус. Усеченный конус имеет два основания: нижнее – основание исходного конуса и верхнее – основание отсекаемого конуса; оно является сечением исходного конуса плоскостью, параллельной плоскости основания. Следовательно, основания усеченного конуса подобны друг другу.

Площадь боковой поверхности конуса: S = П R l, где l – длина образующей конуса.

Объем конуса: V = 1/3 П R² H.

И после изучения теории приступаем к решению задач.

Задача 1. Почему угол развертки конуса не может равняться 360^о ?

Задача 2. Найти отношение площади боковой поверхности конуса и площади его основания, если образующая конуса равна диаметру ее основания.

Задача 3. Найти емкость конической воронки, высота которой 30см, диаметр отверстия 20см. Ответ дать в метрах.

Задача 4. Найти объем конуса, если известно, что радиус его основания равен 6,2см, высота 16см.

Задача 5. Ведро имеет размеры: длина верхнего обода 95см, длина обода дна 70см, высота ведра 28см. Узнать емкость ведра.

Задача 6. Узнать вместимость ведра, если диаметр его нижнего основания 20см, верхнего 30см, расстояние между основаниями 30см.

Задача 7. Сколько литров воды вмещает бочонок длиной 8дм, если диаметр каждого из его оснований 5дм, диаметр сечения в наиболее широком месте 6дм?

Задача 8. Сколько весит масло, которым наполнена бочка, высота которой 1м, диаметр дна 60см, диаметр сечения в наибольшем месте 70см? Удельный вес масла 0,9г/см³ .

Задача 9. Основание конуса находится на земле. Сможете ли вы установить размеры конуса, не подходя к нему?

Задача 10. Закрепив вершину, данный конус покатили по плоскости. Какая фигура получится от движения его оси? Какой путь проделает центр основания конуса за один оборот конуса?

Задача 11. Абажур от настольной лампы является боковой поверхностью усеченного конуса. Какой фигурой является граница тени от абажура на стене?

Задача 12. В землю воткнута вертикальная палочка. Какую линию описывает на земле тень от ее верхнего конца в течение дня?