Это интересно

Курс геометрии в школе должен способствовать осознанию всеми учащимися общей картины мира, устройства возможностей его познания с использованием геометрических знаний. Материал курса геометрии развивает представления учащихся, полученные ими в начальной школе, и позволяет совместно с другими естественнонаучными дисциплинами познавать окружающий мир.

Это осуществляется следующим образом:

1. В самом начале изучения геометрии в пятом классе происходит первое знакомство с понятием пространства. Конечно, на этом этапе обучения сказать можно не так уж и много. Вот некоторые фрагменты.

Все, что нас окружает, называется пространством. Каждый человек живет в пространстве. В пространстве расположено множество различных объектов: планета Земля, другие планеты солнечной системы, звезды и созвездия различных галактик, горы на поверхности Луны и так далее.

Геометрия изучает также пространство, в котором расположены различные геометрические фигуры: треугольники, круги, пирамиды, шары, кубы и другие.

Многие предметы в окружающем нас мире имеют аналоги в геометрии, то есть геометрические фигуры в геометрии – модели объектов реальной природы: пирамиды Древнего Египта и пирамиды в геометрии, жилые дома вокруг нас и прямоугольные параллелепипеды в геометрии и так далее.

Все планеты Солнечной системы представляются нам шарообразными телами.

Так, планета Земля с точки зрения геометрии рассматривается как шар, диаметр которого приблизительно равен 12 800 км, радиус – 6400 км. Диаметр шара – отрезок, соединяющий любые две точки поверхности шара и проходящий через его центр. Половина диаметра называется радиусом. Размеры шаров, а, следовательно, и планет принято сравнивать по длине радиусов.

Поверхность шара называется сферой. С точки зрения геометрии поверхностью Земли и других планет являются сферы.

Земля движется вокруг Солнца по почти круговой орбите, радиус которой равен 150 000 000 км. При этом диаметр Солнца более чем в 100 раз больше диаметра Земли и равен 1 390 000 км. Луна тоже представляется нам шарообразным телом, ее диаметр почти в 4 раза меньше диаметра Земли, он равен приблизительно 3500 км.

Итак, есть пространство, в котором мы живем и пространство, которое изучается в геометрии (евклидово пространство).

Человечество в процессе своего развития потратило много сил на изучение закономерностей окружающего мира и на создание геометрии, которую изучаем в школе. Но чем больше ученые занимались этими проблемами, тем чаще появлялись многочисленные сложные вопросы.

Верно ли, что пространство, в котором мы живем, устроено как пространство, которое изучаем в курсе школьной геометрии? Евклидово ли оно? Выполняются ли в нашем реальном пространстве законы геометрии Евклида?

Казалось бы, ответы очень просты, так как законы евклидовой геометрии очевидны: «Через две точки проходит только одна прямая», «Каждая прямая бесконечна в обе стороны», «Перпендикуляр и наклонная к одной прямой непременно пересекаются».

Кажется, все это так и иначе быть не может! Об этом говорил и знаменитый немецкий философ И. Кант: «Иначе мыслить нельзя!». Но вот великий наш соотечественник Н. И. Лобачевский показал, что прекрасно можно думать иначе! Он построил геометрию, в которой все аксиомы Евклида выполняются, кроме одной – аксиомы параллельных. Оказалось, что его геометрия не только не хуже евклидовой, но в некоторых отношениях даже совершеннее ее, богаче.

Возникают и другие вопросы: можно ли вообразить, что прямая имеет конечную длину; разве кто-нибудь уходил по прямой так далеко, что убедился в ее бесконечности; быть может, если уйдем по прямой очень-очень далеко, то вдруг окажемся в исходной точке путешествия?

Именно так и произошло бы с человеком, который, полагая, что Земля – плоская, отправился в некотором направлении, стараясь все время идти по кратчайшей линии; думая, что идет по прямой, и вдруг пришел бы в начальную точку путешествия.

Может быть, зря думаем, что прямая бесконечна, а она является замкнутой линией вроде окружности, только очень большой длины? В истории развития человечества было много ясных вещей, которые потом оказались просто неверными. Ведь все считали (пока люди не доказали, что Земля – шар), что вертикали, проведенные к поверхности Земли, строго параллельны, а оказалось, что они пересекаются в центре Земли. Спутники Магеллана думали, что если они будут аккуратно каждый день делать записи в судовом журнале, то, объехав вокруг света и вернувшись домой, не ошибутся в счете дней. А все же оказалось, что один день пропал.

Есть веские основания предполагать, что наше пространство устроено сложнее, чем думал Евклид. Н. И. Лобачевский называл окружающее нас пространство «употребительным».

2. В геометрии существует такое понятие, как параллелограмм, который широко используется (решается масса задач на параллелограммы). Однако остается тайной, где в практике, жизни, науке используется это понятие, на изучение которого тратится много времени.

Приведем примеры, связанные с применением свойств параллелограмма в природе и технике.

Если сконструировать модель параллелограмма на шарнирах, то, меняя его угол, можно получить различные параллелограммы с теми же длинами сторон. Поэтому о параллелограмме говорят, что это – фигура «подвижная», а не «жесткая», как треугольник. Свойство подвижности параллелограмма часто используется на практике. Так, шарнирный параллелограмм применяется, например, для проведения параллельных прямых на различных расстояниях дуг от друга.

Шарнирными механизмами много и плодотворно занимался замечательный русский ученый Пафнутий Львович Чебышев (1821 – 1894). Он собственноручно изготовил много самых разнообразных механизмов, среди них – лодка с гребным аппаратом, шагающий человек («стопоходящая машина») и другие.

3. Одним из очень важных примеров применения геометрических понятий в технике и на практике является применение цилиндрической винтовой линии.

В технических приспособлениях, от самых распространенных до наиболее специальных, не обойтись без винтов, болтов, гаек, шурупов и так далее. Край резьбы у них – цилиндрическая винтовая линия.

Цилиндрическая винтовая линия имеет одно удивительное геометрическое свойство – она может скользить вдоль самой себя.

Как следует понимать эти слова «скользить вдоль самой себя»?

Рассмотрим такие примеры. Прямой меч плотно, зазора входит в прямые ножны, то же относится и к мечу, изогнутому в форме дуги окружности: его всегда можно вложить в ножны той же кривизны. Именно это свойство имеют в виду математики, называя иногда прямые и окружности самосовмещающимися кривыми. При перемещении вдоль самосовмещающейся кривой любой ее дуги последняя никогда «не сходит с рельсов», то есть в любой момент времени совпадают с соответствующим участком кривой.

Можно ли придумать меч и ножны какой-нибудь другой формы, отличной от отрезка прямой или дуги окружности?

Даже после долгих размышлений многие ответят, что никакой другой формы кривой придумать нельзя, но они заблуждаются. Существует третья самосовпадающая кривая – цилиндрическая винтовая линия, или цилиндрическая спираль. Это кривая, которая, закручиваясь вдоль поверхности цилиндра, пересекает все его образующие под одним и тем же углом.

Вокруг нас есть множество примеров использования винтовой цилиндрической линии и ее свойств.

В архитектуре с помощью винтовой линии «сворачивают расстояния»: винтовая лестница занимает в строении меньше места.

Наглядное представление о винтовой линии может дать пружина. Винтовые линии очень распространены в технике. Винт, болт, гайка, сверло и многие другие предметы содержат на своей поверхности винтовые линии. Резец токарного станка при обработке цилиндрической детали, снимая стружку, описывает на ее поверхности винтовую линию.

Винтовая линия с той или иной степенью точности встречается в природе. Стебли вьющихся растений «шаг за шагом», «виток за витком» взбираются по стволу дерева по винтовой линии. По ней же смерч скручивает стволы деревьев.

Часто винтовую цилиндрическую линию называют цилиндрической винтовой спиралью.

Число витков спирали, которое необходимо сделать, чтобы перейти от нижнего листа к ближайшему верхнему, равно одному из чисел широко известного ряда Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13… (каждый член этого ряда равен сумме двух предыдущих). Это явление в ботанике носит название «филлотаксиса» (филлотаксис – расположение листьев); его неожиданной связи с числами Фибоначчи посвящено много книг и статей.

Стебли вьющихся растений обычно закручиваются парами, причем стебли растений-партнеров закручиваются в противоположных направлениях. Жимолость, например, всегда закручивается по левой спирали, а вьюнок – по правой.

За исключением винтов, гаек, болтов, которые по стандарту полагается делать правовинтовыми, все остальные спирали, изготовленные человеком, обычно бывают и право, и левовинтовыми – длинные винтовые конфеты, винтовые лестницы, канаты и кабели, свитые из крученых шнуров и проводов и так далее.

4. Выше мы рассмотрели цилиндрическую винтовую линию. Не меньшее значение в геометрии и особенно в окружающем нас мире имеют конические винтовые линии.

 

Многое о том, что говорили про цилиндрическую винтовую линию, переносится и на коническую.

Очень похоже и само построение конической винтовой линии. Точка опишет коническую винтовую линию, если она двигается равномерно по образующей конуса, а эта образующая вращается равномерно около оси конуса с постоянной угловой скоростью.

Коническую винтовую линию можно наблюдать на винтах и в архитектуре.

Конические спирали (то есть спирали, навитые на поверхность конуса), например пружины в матрасах, могут быть право и левовинтовыми.

Самыми удивительными примерами являются раковины улиток и других моллюсков, свернутые в коническую спираль. Далеко не всегда можно говорить о том, в какую сторону закручена раковина. Например, плоскую раковину наутилуса можно, подобно спиральной туманности, рассечь пополам на две одинаковые части: правую и левую. Однако существуют тысячи красивейших раковин, образующих либо правую, либо левую спираль.

В мире растений спирали встречаются на каждом шагу: в строении соцветий шишек, листьев и ветвей вокруг ствола дерева.

По спирали перемещаются не только неодушевленные предметы, но и представители живой природы: любая точка (кроме осевой) вращающегося винта самолета или парохода; белка, взбегающая вверх или спускающаяся вниз по дереву; стаи летучих мышей, вылетающих из поземных пещер. В качестве примеров конической спирали можно привести водовороты, воронки ураганов, траекторию точек воды, стекающей по желобу, и тысячи других явлений природы [9, с. 238-254].

Было рассмотрено только несколько фрагментов, показывающих связь геометрических знаний с закономерностями окружающего мира. Конечно, весь этот материал не может быть изучен со всеми учащимися на уроках геометрии. Часть его предназначена для самостоятельного чтения и изучения. Практика показывает, что такой материал очень интересен и полезен для учащихся.