Поверхностный интеграл 2-го родаГладкая поверхность в трехмерном пространстве называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается в первоначальное положение. Выбор направления нормали называется ориентацией поверхности. Понятие поверхностного интеграла 2-го рода вводится следующим образом. Пусть – кусочно-гладкая ориентированная поверхность и – векторное поле, заданное в окрестности поверхности . Разобьем поверхность на частичный поверхности , площади которых обозначим через . Для каждой области составим произведение , где – произвольная точка поверхности , а – вектор единичной нормали в этой точке. Из этих произведений можно составить интегральные суммы и подсчитать их предел при . Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения поверхности на частичные поверхности, а так же от выбора точек , то этот предел называется поверхностным интегралом 2-го рода и обозначается Если поле непрерывно на поверхности , то этот интеграл существует. Пусть является векторным полем скоростей частиц движущейся жидкости. Тогда поверхностный интеграл 2-го рода определяет количество жидкости, протекающей через поверхность в данном направлении в единицу времени. Поэтому поверхностный интеграл второго рода часто называют потоком векторного поля через заданную поверхность. Переход к другой стороне поверхности меняет направление нормали к поверхности, а поэтому и знак интеграла. Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода сводится к вычислению двойных интегралов. В самом деле, пусть Тогда Вычислим первый интеграл из правой части . Для этого рассмотрим два случая. 1) на . Тогда очевидно, что как интеграл от нулевой функции. 2) Пусть – знакопостоянная функция на поверхности , то есть на всей поверхности . Это означает, что поверхность можно однозначно спроектировать на плоскость . Обозначим через проекцию на эту плоскость. Тогда, если , то есть угол образованный нормалью к поверхности с осью острый, то по правилу вычисления поверхностного интеграла 1-го рода, изложенному в предыдущем разделе, получаем Если же на , то угол между нормалью и осью тупой, и поэтому Все три приведенные выше равенства можно записать одной формулой: где , если во всех точках , , если на и , если на . Применяя последнюю формулу к остальным интегралам в правой части равенства , получаем соотношение Заметим, что формула получена в предложении, что каждая из координат вектора нормали либо знакопостоянна всюду на поверхности , либо тождественно равна нулю на этой поверхности. Если поверхность не удовлетворяет приведенному условию, то для вычисления поверхностного интеграла 2-го рода по этой поверхности надо сначала разбить его на несколько частей, каждая из которых обладает указанным свойством, а затем применить к каждой из этих частей формулу Пример 3. Найти поток векторного поля через часть параболического цилиндра , на которой ,
Решение. Так как вектор нормали образует (см. Рис.3) острый угол с осью то Кроме того, очевидно, что и Поэтому формула принемает в данном случае следующий вид: где и - - проекции поверхности на плоскости и соответственно. Вычислим отдельно каждый из двух интегралов из правой части Подставляя эти результаты в
Пример 4. Найти поток векторного поля Через полную поверхность конуса, ограниченного поверхностями и Положительным считается направление внешней нормали. Решение. Так как
и
(см. Рис.4). При этом на вектором внешней нормали является вектор а на - вектор
на и
где - проекция поверхностей и на плоскость 2) Вычислим второй интеграл в правой части . Так как на , то Заметим, что не является знакопостоянной функцией на всей поверхности . Поэтому разобьем на две части: и . Тогда на и на . Поэтому на и на . Обе поверхности однозначно проектируются на область (см. Рис.6) Поэтому из следует, что как интеграл от нечетной по функции по симметричному отрезку. 3) Вычислим первый интеграл из правой части . Так как на , то Разобьем на две части: и . Тогда на и на . Кроме того, на и на . Поэтому, учитывая , получаем где проекция поверхностей и на плоскость (см. Рис. 5). Переходя в к повторному интегралу, получаем Учитывая окончательно имеем Контрольное задание В задачах 1 и 2найти поверхностный интеграл первого рода по поверхности от скалярного поля В задачах 3 и 4 найти поток векторного поля через поверхность в заданном направлении .
|