КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ. Гауссовы пучки - очень важный для практики случай, встречающийся во многих естественных процессах

Гауссовы пучки - очень важный для практики случай, встречающийся во многих естественных процессах. Фундаментальный характер гауссовых пучков объясняется двумя основными свойствами - наименьшей расходимостью гауссова пучка и свойством сохранения гауссова распределения амплитуды при распространении в свободном пространстве. Благодаря этим свойствам поперечное распределение амплитуды света в луче лазера имеет гауссов вид. Резонатор лазера, как правило, образован двумя зеркалами, расположенными друг против друга. В процессе последовательных отражений происходит многократная дифракция на апертурах зеркал и большая часть дифрагировавшего света не проходит следующую апертуру. Таким образом, в результате многократной дифракции формируется пучок, наилучший с точки зрения расходимости. Кроме того, функция Гаусса - единственная, инвариантная к преобразованию Фурье, поэтому распределение амплитуды в дальней зоне дифракции также будет иметь гауссов вид.

Рассмотрим распространение в свободном пространстве пучка с распределением амплитуды:

, (2.1)

где ‑ амплитуда в начале координат; , ‑ система координат; ‑ ширина распределения по уровню (рис.2.1).

Рис.2.1. Распространение гауссова пучка в свободном пространстве

Волновой фронт пучка в плоскости ‑ плоский. Следует отметить, что при распространении гауссова пучка в свободном пространстве такая плоскость - единственная. Ее положение определяет место так называемой перетяжки гауссова пучка. Ширина пучка в месте перетяжки минимальна и называется радиусом перетяжки. При распространении пучка в дальней зоне будем наблюдать также волну с гауссовым распределением амплитуды (вследствие инвариантности функции Гаусса к преобразованию Фурье):

,

где ‑ новая амплитуда в начале координат; ‑ новый радиус луча.

Основная энергия гауссова пучка сосредоточена в пятне радиуса , следовательно угловая расходимость исходного пучка, измеренная в дальней зоне дифракции (там, где наблюдатель видит исходный пучок как точку), может быть выражена как при дифракции на отверстии радиуса .

, (2.2)

где z - координата вдоль оптической оси (рис. 2.1).

Новый радиус гауссова пучка в дальней зоне

. (2.3)

Таким образом, чем меньше радиус исходного пучка, тем больше его расходимость. Поскольку бесконечно удаленный наблюдатель видит исходный пучок как точку, волновой фронт на большом удалении сферический с радиусом кривизны (рис. 2.1).

Можно показать, что и в процессе распространения от плоскости перетяжки до дальней зоны пучок остается гауссовым. При этом происходит как изменение радиуса пучка от до значений (2.3), так и изменение волнового фронта пучка от плоского до сферического с радиусом . Эти зависимости в общем случае описываются соотношениями

,

. (2.4)

Как видно, в них присутствует параметр , имеющий размерность длины и называемый конфокальным параметром гауссова пучка. Именно этот параметр и определяет границу дальней зоны дифракции для гауссова пучка. Условие дальней зоны - . Легко видеть, что при этом (2.4) переходит в (2.3) и . При .

Важным для практики является преобразование гауссова пучка линзой. Идеальная тонкая линза преобразует только радиус кривизны пучка, оставляя его гауссовым. Действительно, плоская волна фокусируется линзой на расстоянии F, равном ее фокусу. Значит, плоская волна становится после линзы сферической с радиусом кривизны F. Следовательно, линза изменяет кривизну волнового фронта на величину 1/ F и новый радиус кривизны R связан со старым R ₀ соотношением

.

При после линзы , т.е. кривизна волнового фронта имеет другой знак, и мы получаем сходящийся гауссов пучок, который далее вновь образует перетяжку.

Рассмотрим важный для практики случай, когда линза расположена на большом удалении от перетяжки исходного пучка, радиус кривизны его в этом случае , т.е. волновой фронт фокусируемого пучка стремится к плоскому. После прохождения линзы радиус кривизны R будет равен F.

Если представить теперь на рис.2.1 линзу справа и предположить, что , то фактически и в соответствии с (2.3) мы получаем

, (2.5)

где ‑ радиус новой перетяжки, которая находится в фокусе линзы.

Для проверки параметров гауссова пучка, полученных путем измерений, следует вычислить на выходе лазера с конфокальным резонатором (длина которого L, равная расстоянию между зеркалами, равна , и радиус кривизны R на зеркале также равен ). После соответствующей подстановки в выражение для легко получить

, (2.6)

где L ‑ длина резонатора лазера, k ‑ волновое число.