КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

 

12.1. На основе выборочных данных о производительности труда , измеряемой в миллионах рублей на человека, и себестоимости продукции , измеряемой в тысячах рублей на единицу продукции, полученных с однотипных предприятий за месяц, найти:

а) оценки параметров одномерных нормальных распределений и ;

б) выборочный коэффициент корреляции между и ;

в) проверить значимость генерального коэффициента корреляции при a = 0,05;

г) с вероятностью p = 0,95 найти границы доверительного интервала генерального коэффициента корреляции;

д) выборочное остаточное среднее квадратическое отклонение переменной .

 

 

12.2. В таблице приведены данные о прибыли и фондовооруженности , приходящихся на одного работника по предприятиям трикотажной промышленности.

 

y/x	0,05-0,55	0,55-1,05	1,05-1,55	1,55-2,05
2,0-4,6
4,6-7,2
7,2-9,8

 

Вычислить:

а) выборочный коэффициент корреляции и детерминации между и ;

б) проверить значимость генерального коэффициента корреляции при a = 0,02;

в) с вероятностью p = 0,97 найти верхнюю границу доверительного интервала генерального коэффициента корреляции;

г) выборочную остаточную дисперсию переменной .

12.3. Результаты замеров (в г) общего веса растений и веса их семян приведены в таблице.

 

y/x

 

Определить:

а) выборочный коэффициент корреляции и детерминации между и ;

б) проверить значимость генерального коэффициента корреляции при a = 0,01;

в) с вероятностью p = 0,98 найти границы доверительного интервала генерального коэффициента корреляции.

12.4. По сгруппированным выборочным данным о производительности труда и основных производственных фондах , приходящихся на одного человека, полученным по 100 однотипным предприятиям за год, найти точечные оценки:

а) выборочного коэффициента корреляции и детерминации между и ;

б) проверить значимость генерального коэффициента корреляции при a = 0,02;

в) с вероятностью p = 0,97 найти границы доверительного интервала генерального коэффициента корреляции.

 

y/x	3-5	5-7	7-9
3,0-3,5
3,5-4,0
4,0-4,5

 

12.5. В таблице приведены данные о фонде заработной платы работников централизованных бухгалтерий и товарообороте обслуживаемых аптек .

 

	1,4	5,4	2,7	9,8	10,8	6,2	2,2

 

Найти точечные оценки:

а) коэффициента корреляции и детерминации, проверить их значимость при a =0,02;

б) остаточных дисперсий переменных и .

12.6. На основе 16 наблюдений из двумерной нормальной генеральной совокупности были получены выборочные характеристики , . Проверить значимость генерального коэффициента корреляции при a = 0,05.

12.7. На основании выборочных данных о выручке и массе реализованной сельскохозяйственной продукции было выяснено, что выборочная доля дисперсии выручки, вызванная случайной вариацией выручки без учета вариации массы, составляет 9 %. Требуется:

а) для уровня значимости проверить значимость генерального коэффициента корреляции;

б) с вероятностью найти доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции между выручкой и массой реализованной сельскохозяйственной продукции.

12.8. На основании наблюдений было выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины , вызванная случайной вариацией величины , составляет 64 %. Найти интервальную оценку генерального коэффициента корреляции с вероятностью .

12.9. На основе данных о зависимости усушки формового хлеба от продолжительности хранения требуется:

а) найти точечную оценку условного математического ожидания в предположении, что генеральное уравнение регрессии – линейное;

б) найти оценки , и остаточной дисперсии в предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид ;

в) проверить при значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу ;

г) с вероятностью определить интервальные оценки параметров и ;

д) с вероятностью определить интервальную оценку условного математического ожидания при ;

е) определить при доверительный интервал предсказания в точке .

 

Продолжительность хранения, ч
Усушка, % массы горячего хлеба	1,6	2,4	2,8	3,2	3,3

 

12.10. На основе данных о динамике процента хронических больных на тысячу жителей в предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид , требуется:

а) определить оценки параметров уравнения регрессии , и остаточной дисперсии ;

б) проверить при значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу ;

в) с вероятностью определить интервальные оценки параметров и ;

г) с вероятностью определить интервальную оценку условного математического ожидания при ;

д) определить при доверительный интервал предсказания в точке .

 

Год
Процент больных

 

12.11. Результаты исследования динамики привеса молодняка приведены в таблице.

 

Возраст нетеля
Вес, кг	1,2	2,5	3,9	5,2	6,4	7,7	9,2

 

В предположении, что генеральное уравнение регрессии - линейное, требуется:

а) определить оценки параметров уравнения регрессии , и остаточной дисперсии ;

б) проверить при значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу ;

в) с вероятностью определить интервальные оценки параметров и ;

г) с вероятностью определить интервальную оценку условного математического ожидания при и ;

д) определить при доверительный интервал предсказания в точке .

12.12. При анализе зависимости объема валовой продукции хозяйств области от средней мощности тракторов , приходящихся на одного работника, получены следующие результаты:

 

Средняя мощность тракторов, л.с.	Число хозяйств	Валовая продукция на одного работника, тыс. р.
4,1		1,4
6,1		2,0
7,8		2,5
9,9		2,6
12,4		3,2

 

В предположении, что генеральное уравнение регрессии - линейное, требуется:

а) определить оценки параметров уравнения регрессии , и остаточной дисперсии ;

б) проверить при значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу H₀: β₁=0;

в) с вероятностью определить интервальные оценки параметров и ;

г) с вероятностью определить интервальную оценку условного математического ожидания при .

12.13. Себестоимость одного экземпляра книги в зависимости от тиража характеризуется следующими данными:

 

Тираж, тыс. экз.
Себестоимость, д.е.	9,10	5,30	4,11	2,83	2,11	1,62	1,41	1,30

 

В предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет гиперболический вид, требуется:

а) определить оценки параметров уравнения регрессии , и остаточной дисперсии ;

б) проверить при значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу ;

в) с вероятностью определить интервальные оценки параметров и ;

г) с вероятностью определить интервальную оценку условного математического ожидания при .

12.14. Данные о расходе электроэнергии на изготовление 1 т цемента в зависимости от объема выпуска продукции цементными заводами приведены в таблице.

 

Выпуск продукции, тыс. т
Расход электроэнергии, кВт. ч	10,0	8,2	7,3	6,3	6,4	5,2

 

В предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет гиперболический вид , требуется:

а) определить оценки параметров уравнения регрессии , и остаточной дисперсии ;

б) проверить при значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу ;

в) с вероятностью определить интервальные оценки параметров и ;

г) с вероятностью определить интервальную оценку условного математического ожидания при .

12.15. По данным задачи 12.5 в предположении, что уравнение регрессии имеет вид :

а) определить оценки параметров уравнения регрессии , ;

б) вычислить несмещенную оценку остаточной дисперсии ;

в) проверить при значимость уравнения регрессии, т.е. гипотезу ;

г) проверить при значимость коэффициентов регрессии, т.е. гипотезу ;

д) с вероятностью определить интервальные оценки параметров и ;

е) с вероятностью определить интервальную оценку условного математического ожидания при .

12.16. Данные анализа зависимости средней себестоимости хлопка от урожайности приведены в таблице.

 

Средняя урожайность, ц/га
Средняя себестоимость 1 ц, д.е.

 

В предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид , требуется:

а) определить оценки параметров уравнения регрессии , ;

б) вычислить оценку остаточной дисперсии ;

в) определить точечные оценки дисперсий выборочных характеристик и условной средней при .

12.17. Результаты лабораторных испытаний прочности стальных проволок различных диаметров приведены в таблице.

 

Диаметр проволоки x, мм		1,2	1,4	1,5	1,6
Разрывное усилие y, т	0,15	0,20	0,3	0,4	0,6

 

Приняв, что генеральное уравнение регрессии имеет вид , определить:

а) оценки , параметров и ;

б) несмещенную оценку остаточной дисперсии;

в) интервальные оценки неизвестных параметров , и условного математического ожидания при , приняв .

12.18. По приведенным в таблице данным машиностроительных предприятий провести регрессионный анализ зависимости индекса снижения себестоимости продукции y от трудоемкости единицы продукции x и удельного веса покупных изделий.

 

 

№ п/п	y
		0,23	0,40
		0,24	0,26
		0,19	0,40
		0,17	0,50
		0,23	0,40
		0,43	0,19
		0,31	0,25
		0,26	0,44
		0,49	0,17
		0,36	0,39
		0,37	0,33
		0,43	0,25
		0,35	0,32
		0,38	0,02

12.19. По данным угольных шахт провести регрессионный анализ зависимости полной себестоимости добычи 1 т угля y (тыс. р.) от среднесуточной добычи угля на шахте (т) и удельного веса комбайновой проходки выработки (%).

 

№ п/п	y
	12,2
	7,6
	10,4
	9,9
	15,7
	14,0
	12,7
	10,5
	15,1
	10,6
	15,2
	17,2

12.20. На основании цементных заводов провести регрессионный анализ зависимости выработки натурального цемента на одного работающего y (т/чел.) от среднечасовой производительности вращающихся печей (т/ч) и среднечасовой производительности цементных мельниц (т/ч).

 

№ п/п	Y

Окончание табл.

№ п/п	Y

12.21. Используя методы наименьших квадратов, найти параметры a и в линейной аппроксимирующей функции y=ах+в по опытным данным, представленным в таблице.

 

хi	0,30	0,91	1,50	2,00	2,20	2,62	3,00	3,30
yi	0,20	0,43	0,35	0,52	0.81	0,68	1,15	0.85

12.22. Для различных дальностей стрельбы х получены значения срединных ошибок подготовки данных для стрельбы по дальности Е_х, представленные в таблице.

 

х, км
Ех	66,5	75,5	82,0	89,0	98,5

 

Определить уравнение линейной аппроксимирующей функции Е_х = ах+в.

12.23. Произведено 14 измерений силы любого сопротивления воздуха движению автомобиля в зависимости от скорости движения автомобиля относительно неподвижной воздушной среды. Результаты измерений представлены в таблице.

 

V, м/с	12,0	13,1	14,0	16,1	17,4	18,0	20,0
R, кг
V, м/с	21,4	21,9	24,1	25,0	26,8	28,1	30,0
R, кг

 

Определить параметры аппроксимирующей параболы R=aV²+вV+c, пользуясь методом наименьших квадратов.

12.24. Результаты равноточных измерений глубины h проникания тела в преграду при различных значениях его удельной энергии Е приведены в таблице.

 

№ п/п

Г

h

 

Подобрать линейную зависимость вида h=aE+b.

12.25. В результате опытных исследований получены следующие значения срединной ошибки баллистической подготовки в зависимости от дальности стрельбы (122-мм пушка, заряд №1):

 

№ п/п
Di, км
EDi, м	73,3	82,2	88,5	95,9	105,4

 

Найти линейную зависимость E_D=b+b₁D.

12.26. На основании выборочных данных о рентабельности X и себестоимости продукции Y, полученных с однотипных предприятий, требуется найти:

а) выборочный коэффициент корреляции между рентабельностью и себестоимостью продукции;

б) точечные оценки генерального коэффициента регрессии себестоимости продукции по рентабельности и коэффициента регрессии рентабельности по себестоимости продукции;

в) более предпочтительную оценку генерального коэффициента корреляции и детерминации, чем выборочные коэффициенты.

 

x
y

 

12.27. На основе выборки объемом в 50 наблюдений из двумерной генеральной совокупности были получены выборочные коэффициенты регрессии b_yx = -0,72; b_xy = -1,24. Проверить значимость генерального коэффициента корреляции с α = 0,05.

12.28. На основе выборки объемом в 100 наблюдений из двумерной генеральной совокупности были получены следующие характеристики: r = -0,94; s_x = 4,37; s_y = 3,35. Требуется:

а) с надежностью γ = 0,95 найти границы доверительного интервала генерального коэффициента корреляции;

б) с надежностью γ = 0,95 найти границы доверительных интервалов генеральных коэффициентов регрессии.

12.29. На основе выборочных данных о производительности труда X, измеряемой в миллионах рублей на человека, и себестоимости продукции Y, измеряемой в тысячах рублей на единицу продукции, полученных с однотипных предприятий за месяц, найти:

а) оценки параметров одномерных нормальных распределений X и Y;

б) выборочный коэффициент корреляции между X и Y;

в) оценку уравнения регрессии себестоимости продукции от производительности труда ;

г) выборочное остаточное среднее квадратическое отклонение регрессии по .

 

 

12.30. В таблице приведены данные о прибыли и фондовооруженности , приходящихся на одного работника по предприятиям трикотажной промышленности.

 

y/x	0,05-0,55	0,55-1,05	1,05-1,55	1,55-2,05
2,0-4,6
4,6-7,2
7,2-9,8

 

Вычислить:

а) выборочный коэффициент детерминации между и ;

б) оценку уравнения регрессии прибыли от фондовооруженности ;

в) остаточную дисперсию относительно линии регрессии по .

12.31. Результаты замеров (в г) общего веса растений и веса семян житняка приведены в таблице.

 

y/x

 

Определить:

а) выборочный коэффициент корреляции между X и Y;

б) оценку уравнения регрессии веса растений от веса семян житняка ;

в) построить поле корреляции, эмпирическое уравнение регрессии по и найденное линейное уравнение регрессии;

г) оценки коэффициентов регрессии b_yx и b_xy.

12.32. По сгруппированным выборочным данным о производительности труда Y и основных производственных фондах X, приходящихся на одного человека, полученным по 100 однотипным предприятиям за год, найти точечные оценки:

а) коэффициента корреляции между X и Y;

б) остаточных дисперсий относительно линии регрессии по .

 

 

y/x	3-5	5-7	7-9
3.0-3.5
3.5-4.0
4.0-4.5

 

12.33. В таблице приведены данные о фонде заработной платы работников централизованных бухгалтерий и товарообороте обслуживаемых аптек .

 

	1,4	5,4	2,7	9,8	10,8	6,2	2,2

 

Найти точечные оценки:

а) коэффициента детерминации;

б) остаточных дисперсий относительно линии регрессий по , по ;

в) выборочной дисперсии регрессии по .

12.34. На основе выборки объемом в 20 наблюдений из двумерной нормальной генеральной совокупности были получены выборочные характеристики: b_yx =-0,05; S_x² =31,16; S_y² =9,21. С α;=0,05проверить значимость генерального коэффициента корреляции.

12.35. Из двумерной нормальной генеральной совокупности взята выборка объемом 32 наблюдения и найдены выборочные коэффициенты регрессии b_yx =-0,50и b_yx =-1,71. Проверить значимость генерального коэффициента корреляции с α;=0,01.

12.36. На основе 16 наблюдений из двумерной генеральной совокупности были получены выборочные характеристики S_x² =10,05и S_x/y² =4,5. Проверить значимость генерального коэффициента корреляции при α;=0,05.

12.37. На основе n= 100 выборочных данных об объеме и весе одного вида кондитерских изделий было выяснено, что при увеличении веса на 1г объем увеличивается в среднем на 0,3 см³, увеличению объема на 1 см³ соответствует увеличение веса в среднем на 2,7 г. Требуется:

а) для уровня значимости α;=0,05проверить значимость генерального коэффициента корреляции;

б) с надежностью γ= 0,954 найти доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции между объемом и весом кондитерских изделий;

в) с надежностью γ= 0,95 найти длину интервальной оценки генерального коэффициента регрессии объема на вес кондитерских изделий;

г) с надежностью γ= 0,9 найти интервальную оценку генерального коэффициента регрессии веса на объем кондитерских изделий.

12.38. На основании n= 50 выборочных данных о выручке и массе реализованной сельскохозяйственной продукции было выяснено, что выборочная доля дисперсии выручки, вызванная случайной вариацией выручки без учета вариации массы, составляет 9 %. Требуется:

а) для уровня значимости α;=0,01проверить значимость генерального коэффициента корреляции;

б) с надежностью γ= 0,95 найти доверительный интервал для генерального коэффициента корреляции между выручкой и массой реализованной сельскохозяйственной продукции.

12.39. На основе n= 100 выборочных данных об объеме реализованной продукции некоторого вида и себестоимости единицы продукции было выяснено, что при увеличении объема на единицу его измерения себестоимость единицы продукции уменьшается в среднем на 0,4 единицы своего измерения, а при увеличении себестоимости на единицу объем реализованной продукции уменьшается в среднем на 1,6 единицы своего измерения. Требуется с надежностью γ= 0,99 найти:

а) интервальную оценку генерального коэффициента корреляции между объемом реализованной продукции некоторого вида и себестоимостью единицы продукции;

б) интервальную оценку генерального коэффициента себестоимости единицы продукции от объема реализованной продукции.

12.40. На основании n= 20 наблюдений было выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины Y, вызванная случайной вариацией величины X, составляет 64 %. Найти интервальную оценку генерального коэффициента корреляции ρ; с надежностью γ=0,743.

12.41. По данным обследования n =30 фермерских хозяйств для анализа зависимости между средней урожайностью X и средней себестоимостью Y хлопка были получены следующие выборочные характеристики: r =-0,56; S_x =5,3 м/га; S_y =2,5 р./т. С надежностью γ= 0,90 найти нижнюю границу оценки генерального коэффициента регрессии себестоимости на урожайность.

12.42. На основе 16 выборочных наблюдений получены выборочные коэффициенты регрессии b_yx =-0,51, b_yx =-1,72. С надежностью γ= 0,95 найти длину доверительного интервала для коэффициента корреляции ρ; и коэффициента регрессии β_yx.

12.43. Измерения некоторой величины Y в зависимости от значения аргумента X дали результаты, приведенные в таблице.

 

X
Y	1,6	2,4	2,8	3,2	3,3

 

Считая, что генеральное уравнение регрессии – линейное Y=β₀+β₁x, требуется:

а) определить точечные оценки b₀ и b₁ параметров уравнения;

б) определить оценку остаточной дисперсии s²;

в) оценки дисперсий выборочных характеристик b₀ и b₁;

г) точечную оценку Y͂= b₀ + b₁x_i при x = 6.

12.44. На основе данных о зависимости усушки формового хлеба от продолжительности хранения требуется:

а) найти точечную оценку условного математического ожидания в предположении, что генеральное уравнение регрессии – линейное;

б) найти оценки b₀, b₁ и остаточной дисперсии в предположении, что генеральное уравнение регрессии имеет вид ;

в) проверить при α;=0,05 значимость уравнения регр