Пример 7Вычислим определитель:
при вычислении определителя первую строку умножили на 2 и сложили со второй, затем разложили определитель по 2-й строке.
Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (или строки) на алгебраические дополнения элементов другого столбца (или строки) определителя равна нулю.
Обратная матрица
Пусть дана квадратная матрица А порядка n. Обратной матрицей по отношению к данной А называется матрица По определению А · Квадратная матрица называется неособенной или невырожденной, если определитель ее отличен от нуля. В противном случае матрица называется особенной или вырожденной. Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, которую можно найти по формуле
где
для квадратной матрицы 3-го порядка союзной является матрица
Пример Для матрицы Решение Обратную матрицу находим по формуле
Определитель матрицы
Тогда обратная матрица имеет вид
|
,
, которая будучи умноженной, как справа, так и слева на данную матрицу, дает единичную матрицу.
= 
,
- определитель матрицы А, 
- союзная матрица по отношению к данной матрице, в которой элементы каждой строки данной матрицы заменены алгебраическими дополнениями элементов соответствующих столбцов. Например, для квадратной матрицы 2-го порядка союзной является матрица
,
.
найти обратную.
.
, следовательно, матрица неособенная и обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы:
.
.
