Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Уравнение вида:

· + · + … + · = b,

где a₁, a₂, a_n, b - некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x₁, x₂, …, x_n.

В курсе средней школы рассматривали линейные уравнения с одним, двумя, тремя неизвестными; это уравнения:

a · x = b;

a · x + by = с;

ax + by + с · z = d.

C геометрической точки зрения, эти уравнения изображают соответственно точку на числовой прямой, прямую на плоскости, плоскость в пространстве.

· Системой линейных алгебраических уравнений называют два либо больше уравнений, которые решаются совместно.

Это означает, что решением системы будут те решения её уравнений, которые удовлетворяют всем уравнениям системы.

В частности, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными x, y имеет вид:

(5)

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x, y, z имеет вид:

(6)

В общем случает система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными записывается в виде:

(7),

 

где через а_ij обозначен коэффициент при неизвестном x_j в i-ом уравнении системы (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n), x₁, x₂, …, x_n - неизвестные, а числа b₁, b₂, …, b_m - называются свободными членами.

 

 

В матричной форме система (7) имеет вид:

A · X = B, (8)

где

А = - матрица системы (порядок m x n), (9)

X = - матрица – столбец неизвестных (порядок n x 1),

B = - матрица - столбец свободных членов (порядок m x 1).

· Решением системы (7) называется n значений неизвестных = , …, , при подстановке которых в (7) все уравнения системы обращаются в верные равенства.

· Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

· Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение и неопределённой, если она имеет более одного решения.

В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы.

 

· Совокупность всех частных решений называется общим решение системы.

· Две системы называются эквивалентными (равносильными),если они имеют одинаковые решения или обе несовместны.

Пример 18

Решить систему уравнений

Решение: Имеем систему линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными и .

Из «школьной» алгебры знаем методы:

 

а) Метод подстановки.

Из 2-ого уравнения выразим через :

= 13 + 2 ,

 

 

подставим найденное выражение в 1-ое уравнение, в результате получится одно уравнение с одним неизвестным:

2 (13 + 2 ) + 3 = 12

2 LnhtbEyPwW7CMBBE75X4B2uReis2tKYljYMAqeq50As3J94mUeN1iA2kf9/tqdx2NKOZt/l69J24 4BDbQAbmMwUCqQqupdrA5+Ht4QVETJac7QKhgR+MsC4md7nNXLjSB172qRZcQjGzBpqU+kzKWDXo bZyFHom9rzB4m1gOtXSDvXK57+RCqaX0tiVeaGyPuwar7/3ZGzi8ezWWqd0hnZ7V5rjVSzpqY+6n 4+YVRMIx/YfhD5/RoWCmMpzJRdEZ0HPN6MnAagGCff2kVyBKPh4VyCKXtw8UvwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQBhXkkm8QEAAOkDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJv RG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQBwVEgD3AAAAAgBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAEsEAABkcnMv ZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAVAUAAAAA " strokecolor="black [3200]" strokeweight=".5pt">

x =

= b

=

26 + 4 + 3 = 12

7 = -14

= -2

тогда: = 13 + 2 · (-2) = 9.

Ответ: = 9, = -2, система определённая.

 

б) Метод сложения.

Умножим левую и правую части 2-ого уравнения на (-2):

- система,эквивалентная данной

Сложим почленно уравнения системы:

7 = -14, = -2.

Подставим найденное значение в любое из уравнений исходной системы, пусть во 2-ое:
x₁-2 · (-2)=13, x₁+4=13, x₁=9

Ответ: x₁ = 9, x₂ = -2.

 

Замечание 7: Коэффициенты при неизвестных уравнениях системы (5) не пропорциональны => система определённая.

 

Пример 19 Решить систему уравнений

Решение: Система неопределённая. Действительно, если обе части второго уравнения разделить на (-2), то получится первое уравнение, и система двух уравнений сводится к одному уравнения с двумя неизвестными, а именно:

x₁ – 2х₂ = 13.

 

 

Система имеет бесчисленное множество решений, задаваемых формулой:

x₁ = 13 + 2х₂.

Задавая произвольные значения неизвестному x₂, получаем соответствующие значения x₁.

Пусть, например x₂ = 0, тогда x₁ = 13.

При x₂ = 1 = x₁ = 15. Получили частные решения системы.

Замечание 8: Если коэффициенты при неизвестных и свободные члены в уравнениях системы (5) пропорциональны, следовательно, система неопределённая,решениями является любая пара (х,у), удовлетворяющая любому уравнению системы.

 

Пример 20 Решить систему уравнений

Решение: Система несовместна, т.к. одно выражение системы не может одновременно равняться различным значениям.

Ответ: решения нет.

Замечание 9: Если коэффициенты при неизвестных в уравнениях системы (5) пропорциональны, но они не пропорциональны свободным членам, то система несовместна.

Пример 21

Системы эквивалентны, - знак эквиталентности.

х₁ = 9, х₂ = -2.

Основными методами решения СЛАУ являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Первые два метода применимы только для решения систем с квадратной невырожденной матрицей. Методом Гаусса можно решать любые СЛАУ.