Решение СЛАУ по формулам Крамера

Пусть имеется система (6):

 

,

 

, , и (i ) - заданные числа, х, y, z – неизвестные.

Определитель этой системы равен:

 

= .

Если элементы первого столбца этого определителя заменить на числа , то получим определитель

= .

При замене второго столбца определителя числами получим определитель

 

= .

Аналогично получаем определитель
= .

 

·

z =

y =

x =

Если , то система (6) имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

(10)

 

· Если и хотя бы один из определителей, не равен нулю, то система несовместна.

· Если = = 0, то система несовместна или имеет бесконечно много решений.

Пример 22: Решить систему уравнений, используя формулы Крамера (10).

 

 

Решение: Определитель системы равен

= = 4+18-8+6-6-16 = -2

Вычислим вспомогательные определители:

= = 12+18+8-6-18-16 = -2

= = 2 · 2 ∙ = 4 · (2+3-3+3-1-6) = -8

= = 2+18-8+6-6-8 = 4

Решение системы:

= = = 1

= = 4

= = = -2

Ответ: =1, = 4, = -2.

 

Решение СЛАУ матричным методом

( · А = Е) (Е · Х = Х)

Пусть в системе (7) m=n и матрица А такой системы невырожденная,т.е. det A . Умножив обе части матричного уравнения (8) A · X = B слева на матрицу , получим:

· А · Х = · В

Е · Х = · B

Х = · В - решение матричного уравнения. (11)

Пример 23 Решить систему уравнений матричным методом.

Решение: А= – матрица системы, В = – столбец свободных членов, Х = – столбец неизвестных.
det A = = -6-2+1-1-6-2 = -16 = Ǝ ; (символ Ǝ - от “exist” - существует)

Найдем все алгебраические дополнения матрицы А:

= -4 = -1 = 3

= -4 = 7 = -5

= 0 = -4 = -4

 

= -

Получим решение системы, используя формулу (11):

Х = = - · = - = - =

Ответ: =1, = 1, = 2.