Решение СЛАУ методом Гаусса

Рассмотрим систему (7)

• Матрица (9) системы, к которой присоединен столбец свободных членов B, называется расширенной матрицей системы:

à =

• Элементарными преобразованиями в расширенной матрице называются преобразования, которые не меняют множество решений системы.

Для обозначения элементарных преобразований используют знак ∼.

Элементарными преобразованиями в расширенной матрице являются:

1) перемена местами строк;

2) перемена местами столбцов с запоминанием, какому неизвестному соответствует каждый столбец;

3) умножение (деление) строки на число, отличное от нуля;

4) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;

5) вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк;

6) вычеркивание нулевой строки.

Метод Гаусса – один из наиболее универсальных и эффективных методов решений СЛАУ, состоит в последовательном исключении неизвестных. На первом этапе решения (прямой ход) расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований приводится к так называемому ступенчатому (в частности, треугольному) виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной эквивалентной системы.

Опишем метод Гаусса подробнее на примере системы трех уравнений.

Пример 24. Решить систему уравнений

Решение: Прямой ход: применяем к расширенной матрице системы Ã элементарные преобразования так, чтобы ниже главной диагонали стояли только нули.

1-ый шаг – формирование первого столбца:

Первую строку сохраняем, ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2), к третей прибавим первую, умноженную на (-3). После этого в первом столбце получаем два нуля.

2-ой шаг – формирование второго столбца:

Первую строку сохраняем, вторую делим на 7.

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на (-5). После этого имеем все нули ниже главной диагонали.

Третьюстроку разделим на (-2).

Система, эквивалентная данной с полученной расширенной матрицей имеет треугольный вид:

Обратный ход: из последнего уравнения ,

из второго: , получаем ,

из первого: , получаем .

Ответ: , , .

Замечание 10. Совместная система уравнений будет определенной, если в процессе преобразований она приводится к треугольному виду: число неизвестных системы равно числу уравнений. И неопределенной, если приводится к ступенчатому виду: число неизвестных системы больше числа уравнений.

Уравнение , где b≠0 не имеет решений. Оно называется противоречивым. Система, содержащая такое уравнение, сама противоречива, т.е. несовместна.

Замечание 11. На практике удобно, чтобы коэффициент (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ).