Некоторые определения из теории случайных процессов

 

Перейдём к изучению случайной составляющей временного ряда и построению математических моделей этой составляющей. Введём основные определения.

Определение. Случайным процессом называется функция двух переменных , где – элементарный исход эксперимента, – время. Таким образом - функция двух переменных, принимающая вещественное значение.

Пусть зафиксирован элементарный исход эксперимента . Тогда эта функция выражает развития случайного явления во времени. Рассмотрим

₄

₃

₂

₁

t

t t₁ t₂ t₃ t₄

 

называется траекторией процесса, а набор значений , ,... называется рядом.

Определение.Временным рядом называется последовательность значений случайного процесса, взятых в некоторый момент времени , ,..., .

То есть временной ряд можно рассматривать как последовательность случайных величин.

Определение.Последовательность случайных величин называется стационарной, если

и (*) .

i j i+k j+k

 

Выражение (*) означает, что величины на любых двух непересекающихся промежутках времени одинаковой длины одинаково коррелированны.

Определение.Ковариацией случайных величин и называется число .

Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и называется величина .

Основные свойства коэффициента корреляции.

1. , т.е. коэффициент корреляции принимает значения от -1 до 1.

2. Если случайные величины и независимы, то (обратное неверно!)

3. Если величины и линейно зависимы, то и наоборот.

Определение. Коэффициентом автокорреляции называется величина , то есть коэффициент корреляции между уровнями временного ряда и .

Здесь вводится понятие порядка автокорреляции. Например, коэффициент автокорреляции первого порядка имеет вид . Говорят, что это коэффициент с лагом 1.

Коэффициент – коэффициент автокорреляции с лагом .

Определение. Последовательность случайных величин называется белым шумом, если , , и .

Таким образом, «белый шум» – это последовательность некоррелированных случайных величин, одинаково распределённых и имеющих нулевое математическое ожидание и постоянную дисперсию . Иногда добавляется следующее требование: которое означает, что величины распределены по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией, равной . В этом случае говорят, что шум – гауссовский «белый шум».

 

Основным предположением построения модели является то, что текущее значение определяется некоторой предысторией и случайной ошибкой. В основном строятся модели не более чем второго порядка.

 

Рассмотрим пример вычисления коэффициента корреляции между случайными величинами и .

Пусть даны случайные величины и и их совместное распределение.

x ↓, y →
	0,1	0,2	0,1
	0,3	0,1	0,2

Требуется рассчитать коэффициент корреляции и ответить, являются ли данные величины зависимыми?

1 этап. Восстановим частные распределения и . Для этого суммируем вероятности в столбцах для Х и в строках для .

x
p	0,4	0,6

y
p	0,4	0,3	0,3

2. Определим числовые характеристики величин x и y:

3. Вычислим совместное математическое ожидание этих случайных величин x и y:

4. Вычисление коэффициента ковариации:

 

Напомним, что коэффициент корреляции .

Так как в данном случае близко к нулю, величины и слабо коррелированны и их совместное распределение плохо оценивается при помощи линейной функции. Так как коэффициент отрицательный, то величины и отрицательно коррелированны, то есть с ростом одной величины другая уменьшается..