Преобразование нестационарных временных рядов в стационарные

 

Реальные процессы свойством стационарности второго порядка могут и не обладать. Однако с помощью достаточно несложных преобразований часто удается привести наблюдаемый ряд к стационарному процессу.

Примерами таких преобразований являются:

а) взятие конечных разностей

. (28)

– первая разность. Это преобразование целесообразно использовать, когда закон изменения близок к линейному.

. (29)

– вторая разность. Преобразование применяется, когда закон изменения близок к квадратической зависимости и т.д.;

б) логарифмирование цепных индексов

. (30)

Применяется при экспоненциальном росте , ;

в) расчет темпов прироста

, (31)

а также некоторые другие.

При работе преобразование (30) более удобно, так как позволяет достаточно просто изменять временные серии исходных данных в связи, например, с укрупнением временных интервалов. Пусть возникла необходимость проанализировать временные ряды серии удвоенного временного интервала (t –1, t +1), т.е., например, .

Для такой серии преобразование (30) приводит к следующему временному ряду:

, (32)

где – преобразованное значение показателя на удвоенном интервале.

Его величина представляет собой простую арифметическую сумму преобразованных значений показателей исходных интервалов, объединение которых привело к новой серии.

В то же время для преобразования (31) в этом случае получим более сложное выражение, определяющее для значения нового временного ряда:

. (33)

Для превращения исходного нестационарного ряда в стационарный могут быть использованы и другие преобразования. Например, , и т.д. В каждом конкретном случае, выбирая преобразование, необходимо исходить из примерной формы временного графика зависимости . «Удачное» преобразование должно обеспечивать приблизительное выполнение условия .

В условиях постоянства математического ожидания и дисперсии особенности конкретного стационарного процесса второго порядка полностью определяются характером его автокорреляционной функции, имеющей вид зависимости значений коэффициентов автокорреляции от сдвига. Иными словами, автокорреляционная функция является дискретной и представляет собой последовательность значений коэффициентов автокорреляции , поставленных в зависимость от сдвига i, где .

Аналогично можно сформировать автоковариационную функцию стационарного процесса представив ее в виде последовательности коэффициентов автоковариаций поставленных в зависимость от сдвига i. Напомним, что между соответствующими значениями этих функций существует однозначная взаимосвязь , т.е. .

Все множество стационарных процессов второго порядка в общем случае в зависимости от особенностей их автокорреляционных функций разбивается на несколько однородных групп, для каждой из которых можно подобрать и построить адекватную модель. В общем случае можно выделить три группы таких моделей – модели авторегрессии, модели скользящего среднего и смешанные модели авторегрессии-скользящего среднего.