Равновесие идеального газа в поле тяготения Земли. Барометрическая формула.

 

Молекулы находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Найдем зависимость давления от высоты P(h). Выделим в атмосфере вертикальный столб с постоянным сечением S=1.

 

 

Пусть температура T=const, поле тяготения однородно. На высоте h давление P связано с весом воздуха, находящемся от h до границы атмосферы. Из условия равновесия

 

,

где ρ - плотность на высоте h.

При давлениях, близких к нормальным, воздух можно рассматривать как идеальный газ

(из уравнения состояния идеального газа),

Для слоя воздуха с параметрами от (h₁, P₁) до (h₂, P₂)

,

T=T(h) - в общем случае.

Для изотермической атмосферы (T=T(h)=const).

 

- барометрическая формула.

Относительно уровня моря, где P₁ равно нормальному давлению P₀ и h₁=0, зависимость давления от высоты имеет вид

.

Из формулы находится P по h или h по P. Прибор для измерения высоты, основанный на этой зависимости, – высотомер (альтиметр).

( и ) или (, ):

,

где n, n₀ - число молекул в единице объема на высоте h и h=0.

Эта формула описывает распределение молекул по высоте; здесь числитель отражает притяжение молекул к Земле, а знаменатель отвечает за их тепловое движение, разбрасывающее молекулы по всем высотам.

- распределение Больцмана.

Для одинаковых частиц, находящихся в состоянии теплового равновесия, формула может быть использована для любого потенциального силового поля (не только поля сил тяжести).