Формула Ньютона-Лейбница

18. Замена переменной в определенном интеграле.

 

19. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

20 Геометрические приложения определенного интеграла

.1. Вычисление площадей плоских фигур.

у

 

 

+ +

 

0 a - b x

 

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

Для нахождения суммарной площади используется формула .

 

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

2. Нахождение площади криволинейного сектора.

r = f(j)

 

 

b

 

 

О a r

 

Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

.3. Вычисление длины дуги кривой.

 

y y = f(x)

 

DS_i Dy_i

Dx_i

 

 

a b x

 

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как