Отношение бесконечно большихДокажем теорему для неопределённостей вида Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен
Зафиксируем
Для
Получили, что отношение функций представимо в виде Если же предел
В определении Для других баз доказательства аналогичны приведённым. Примеры § §
§ §
|
.
. Тогда, при стремлении 
к 
справа, это отношение можно записать как 
, где 
—O(1). Запишем это условие:
.
из отрезка 
и применим теорему Коши ко всем 
:
, что можно привести к следующему виду:
.
и 
— константы, а 
и 
стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 
, где 
— бесконечно малая функция при стремлении 
, что и в определении для 
.
, и 
. По любому данному 
, чтобы модуль разности отношения функций и 
.
; первый множитель правой части будет больше 1/2 при 
.
). В этом примере получается:
;
при 
.
