Пример 2.4Определим с помощью П -теоремы критерий подобия для электрической цепи, которая была рассмотрена в примере 2.3. Цепь содержит активное сопротивление R и индуктивность L. При включении цепи на постоянное напряжение U в ней протекает процесс, который можно записать в виде функциональной зависимости U = f (t, i, R, L). Допустим, что определяющие параметры t, i, R имеют независимые размерности [ t ] = T, [ i ] = I, [ R ] = L 2 MT -3 I -2. Тогда параметры U и L будут размерно-зависимыми. [ U ] = L 2 MT -3 I -1, [ L ] = L 2 MT -2 I -2. В данном случае k = 3, n - k =1. Анализируя размерности параметров, находим критерии подобия.
Заметим, что в примерах 2.3 и 2.4 критерии подобия найдены на основе общих функциональных зависимостей между определяющими и определяемыми параметрами. Точные уравнения физических зависимостей нами не рассматривались. Независимость физической закономерности (2.14) от выбора единиц измерения означает, что эту зависимость можно представить в виде уравнения
Уменьшение числа аргументов упрощает исследование. Пусть в уравнении (2.14) для выяснения зависимости величины a от некоторого определяющего параметра ai надо измерить эту величину при десяти значениях данного аргумента. Тогда для экспериментального нахождения величины a - как функции n определяющих параметров a 1 ,…, an - следует произвести 10 n экспериментов. Согласно П - теореме, если все величины a 1, a2,…, an выражаются через k независимых размерностей, задача сводится к определению функции n - k безразмерных аргументов П1, …, П n - k, для нахождения которых достаточно 10 n - k опытов, т.е. в 10 k раз меньше. Трудоемкость установления искомой функции сокращается на столько порядков, сколько среди определяющих параметров величин с независимыми размерностями. В примере 2.4 исходное уравнение можно заменить зависимостью П = Ф (П1). Следовательно, в координатах П, П1 все опытные точки должны располагаться на единой кривой. Таким образом, заранее проведенный анализ размерностей сокращает объем экспериментальной работы во много раз.
|
