Упражнения. I. Найти частные производные следующих функций по каждой из независимых переменных

I. Найти частные производные следующих функций по каждой из независимых переменных.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) .

II. Найти и , если:

1) , ; 2) , ; 3) , .

III. Верны ли следующие утверждения.

1) Если функция f (x, y) в точке (x ₀, y ₀) имеет частные производные, то она непрерывна в этой точке.

2) Если функция f (x, y) имеет частные производные в каждой точке (x ₀, y ₀) плоскости, то она непрерывна на плоскости.

3) Если функция f (x, y) дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет частные производные.

4) Если в точке (x ₀, y ₀) функция f (x, y) не дифференцируема, то она разрывна в этой точке.

5) Если функция f (x, y) имеет в некоторой точке частные производные и она непрерывна на плоскости, то она дифференцируема в этой точке.

6) Если функция f (x, y) дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке она имеет непрерывные частные производные.

7) Если функция f (x, y) имеет в окрестности точки (x ₀, y ₀) частные производные и они непрерывны в этой точке, то она дифференцируема в точке (x ₀, y ₀).

8) Если функция f (x, y) непрерывна в окрестности точки (x ₀, y ₀) и имеет там частные производные, то она дифференцируема в точке (x ₀, y ₀).

IV. Найти полный дифференциал функции u.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

V. Пользуясь определением, доказать, что функция u дифференцируема в своей области определения и найти ее дифференциал.

1) u = xyz; 2) .

VI. Доказать, что функция не дифференцируема в точке (0; 0).

VII. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности z в заданной точке M ₀.

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , .

VIII. Является ли дифференцируемой в точке О (0; 0) функция ?

IX. Исследовать на дифференцируемость в точке О (0; 0) функцию при и .

X. Найти решение уравнения

,

удовлетворяющее условию .

Тема 5. Дифференцирование композиции ФНП. Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка

Теорема 1. Если функции и дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция имеет в точке конечную производную по , причем справедлива формула

.

(1)

В частном случае, когда , и x – независимая переменная, при выполнении условий теоремы 1 формула (1) принимает вид

(2)

Здесь – частная производная по аргументу x функции , а – полная производная функции по x, т.е. обычная производная по x функции одной переменной x.

Теорема 2. Если функции и имеют в точке конечные частные производные и в соответствующей точке функция дифференцируема, то сложная функция имеет в точке конечные частные производные, причем справедливы равенства

(3)

Теорема 3. Пусть в точке функции и имеют непрерывные частные производные по и по , а функция в окрестности соответствующей точки имеет частные производные и , непрерывные в этой точке. Тогда сложная функция имеет непрерывные частные производные по и по и дифференцируема в точке , а ее полный дифференциал имеет инвариантную форму

.

(4)

Здесь и – дифференциалы функций и соответственно.

Форма записи (4) полного дифференциала сложной функции такая же, как и в случае независимых переменных и . В этом заключается свойство инвариантности формы записиполного дифференциала функции двух переменных.

При соответствующих предположениях в случае сложной функции , где , , полный дифференциал функции имеет инвариантную форму

,

причем для частных производных справедливы формулы, аналогичные формулам (3).

Пример 1. Составить, если это возможно, композицию функций и .

Решение. Для существования сложной функции множество значений функции f должно содержать область определения функции g. Это условие выполняется, поскольку .

Тогда

.

Пример 2. Найти все частные производные по независимым переменным x, y композиции z = g f, если , .

Решение. В композиции промежуточные переменные u и v определяются равенствами , . Для функций , , выполняются все условия теоремы 2, поэтому искомые частные производные найдем по формулам (3).

Имеем

; ; ; ; ; .

; .

Пример 3. По формуле дифференцирования сложной функции найти , если , где , , .

Решение. Указанная производная, очевидно, существует в любой точке t > 0. Для ее вычисления воспользуемся формулой

.

Так как

, , , , , ,

то

.

Пример 4. Найти , если , где , .

Решение. По формуле полной производной

при имеем

.

Заметим, что этот же результат имеет место, если представить данную сложную функцию в виде и воспользоваться правилами дифференцирования функций одной переменной.

Пример 5. По формулам дифференцирования сложной функции найти частные производные и , если , где , .

Решение. Искомые частные производные, как легко видеть, существуют в любой точке , причем

Так как

, , , , , ,

то

;

.

Пример 6. Преобразовать к полярным координатам уравнение

.

(5)

 

Решение. Задача заключается в получении с помощью формул , перехода к полярным координатам из уравнения (5), записанного для переменных x и y, равносильного ему уравнения, содержащего новые переменные r и j.

Пусть – некоторая функция, удовлетворяющая уравнению (5). Будем рассматривать выражение в левой части уравнения (5) как отношение дифференциалов. Для их отыскания воспользуемся формулой дифференциала сложной функции. Это можно сделать, т.к. все частные производные

, , ,

определены и непрерывны на R ². В результате приходим к уравнению

,

из которого после элементарных преобразований имеем

.