Обоснование метода потенциалов

Переход от одного плана перевозок к другому

Новый план можно получить из исходного заменой одной базисной переменной. Клетки с базисными переменными - базисные, остальные – небазисные/свободные. Для перехода к новому плану используется замкнутая цепь, которая строится в матрице перевозок по следующим правилам. Построение начинается со свободной клетки, которую соединяют с базисной в строке (столбце). Последнюю соединяют с базисной в столбце (строке). Далее, чередуя движение по строкам и столбцам, продолжаем соединение занятых клеток так, чтобы вернуться в начальную. При этом не требуется, чтобы цепь включала все базисные клетки. Угловые клетки цепи - вершины цепи. Начальная вершина должна быть в свободной клетке, остальные – в базисных. Такая цепь - цикл пересчета; геометрическое представление разложения небазисного вектора условий при переменной в свободной клетке по векторам текущего базиса. Если базисная клетка не попала в цикл пересчета, то соответствующий базисный вектор имеет в этом разложении нулевой коэффициент. Так как любой небазисный вектор выражается через базис единственным образом, то для любой небазисной (свободной) клетки можно построить один и только один цикл пересчета. Примеры на рис. Кружком выделена начальная (небазисная) клетка цикла. Нумеровать вершины можно в любом направлении. И начинать можно с любой вершины. На рисунке нумерация проведена с клетки, смежной начальной. В этом случае начальная клетка всегда будет четной.

В каждой строке и каждом столбце, по которым проходит цикл пересчета, будет две и только две вершины: одна четная и одна нечетная. В результате цикл пересчета, построенный в допустимой матрице перевозок, обладает замечательным свойством: если перемещать по нему некоторое количество груза q >0, прибавляя его к X_ij в четных вершинах и вычитая из X_ij в нечетных, то условия задачи ПО и ПН не нарушатся. Чтобы новое решение было допустимым, то есть выполнялось и условие неотриц-ти переменных, необходимо ограничить значение q: q £ q₀ =min X_ij, ijÎ нечет.

Здесь нечет – множество индексов переменных в нечетных вершинах цикла.

Для получения базисного решения (нового опорного плана) достаточно взять q = q₀. Переменная свободной клетки, на кот. строился цикл, -> базисной со значением q₀, а переменная, доставляющая минимум, обнуляется и переходит в небазисные.