КОНТАКТ ДВУХ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

Пусть два тела

 

Z₁

P_N

1

f(x,y)

O x

2

P_N

Z₂

контактируют в т.О.

Рассмотрим пространственный случай. В т.О расположено начало координат XOYZ. Два тела контактируют под действием сил и .Нам нужно найти область контакта, в которой они соприкасаются и давление в области контакта.

Возьмем две точки А и В. Обозначим область контакта через ω. Функция, которая разделяет точки между телами будет обозначаться f(x,y) (до контакта) и l(x,y) – после контакта.

Получили некоторую область контакта:

 

Z₂

P_N

 

A l(x,y)

z₁

ω B

 

P_N

 

После нагрузки расстояние между A и B = l(x,y). В области контакта действует некоторое давление. При этом должны выполняться некоторые условия:

1. P(x,y)≥0, (x,y)Î ;

2. P(x,y)¹0, (x,y)Ï ;

3. l(x,y)=0, (x,y)Î ;

4. l(x,y)≥0, (x,y)Ï ;

Если между двумя точками на оси z₁ и z₂ сближение обозначим через , то расстояние двух точек А и В на поверхности 2-х тел изменится от f(x,y) до l(x,y).

5. (5)

δ – расстояние, обозначающее сближение между 2-мя точками на оси Z,

и – нормальные перемещения 2-х т. А и В.

Значение перемещений u:

(6)

Это обозначает перемещение от действия сосредоточенной силы на полуплоскость.

6. – модуль Юнга (сдвига).

Используя (6), можно формально записать контактную задачу:

7. ;

; 1,2 – тела.

Добавим условие l(x,y)=0 для области контакта 3. и условия равновесия:

К этим условиям добавляется условие 1.

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Допустим, имеем область контакта:

2A

 

2B

 

 

Покроем область контакта сеткой. Прямоугольники будут иметь размеры: 2NA x 2NB.

Разделим прямоугольник NxL на маленькие прямоугольники 2Ax2B.Тогда считаем, что в области контакта давления будут положительны, а за областью контакта оно меняется и может не равняться 0.

Вначале решаем интегральное уравнение:

(9)

Сначала полагают, что давление в каждой части j-го прямоугольника есть const и u=P_j. Тогда уравнение запишется:

(10)

Здесь K’–число разбиений или частей в области ω;

F_ij–функция влияния;

f_i=f(x_i,y_i)

Фукция влияния – это перемещение K₁ в точке i при действии нормальной нагрузки на j-й элемент.

Эта функция определяется как:

.

где f₁(x,y) = x ln(R+y) + y ln(R+x).

2A x 2B = S – площадь j-й клетки,

– координаты центра j-й клетки.

К этому условию добавим условие равновесия:

(11)

Таким образом, имеем K’ линейных уравнений (10), (11) и условия 1.-4.

Неизвестные: давление P_j, сближение δ, K’.

В 1-й итерации допускаем, что K’=K₁ и равно N x L и покрывает 2NA и 2LB клеток.

Значение контактной зоны будет сначала больше, чем действительное, поэтому давление P_j вблизи границы может быть отрицательным.

Далее: K₁+1-е уравнение можно решить для неизвестных P_j и δ, j=1,..,K₁’.

Имеем: .

.

Полагаем, что P_N – известна.

Т.к. часто P_j – отрицательные, тогда действительные, максимальные напряжения будут внутри области.

Далее: для положительной нагрузки .

Тогда площадь, в которой будет выполняться это условие, будет действительной зоной контакта. А как только она нарушится над границей, она будет границей. Приравниваем P_k к нулю и посмотрим число таких P_k, в которых давление будет положительным при заданных K₂.

Процедуру выполним для K_n-1=K_n=K’.