Плоскости общего и частного положения. Определения, изображение на эпюре
Система трех плоскостей проекций. Эпюр Монжа Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координатных осей - системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис. 1.12). Эти координатные плоскости обозначаются: 1. Горизонтальная плоскость проекций - π1; 2. Фронтальная плоскость проекций - π2; 3. Профильная плоскость проекций - π3. Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс – Х; ось ординат – Y; ось аппликат – Z. Точка О пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительными направлениями осей считают: для оси x − влево от начала координат, для оси Y − в сторону зрителя от плоскости π2, для оси z – вверх от плоскости π1; противоположные направления считают отрицательными.
Рис. 1.12. Изображение системы трех плоскостей проекций Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать только часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекций π3. При таком допущении три координатные плоскости проекций образуют четыре пространственных угла – октанта (в общем случае – 8 октантов). Из рис. 1.12 видно, что ось абсцисс Х делит горизонтальную плоскость проекций π1 на две части: переднюю полу π1 (оси Х и Y) и заднюю полу π1 (оси Х и - Y). Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций π2 также на две части: верхнюю полу π2 (оси Х и Z) и нижнюю полу π2 (оси Х и - Z). Оси ординат Y и аппликат Z делят профильную плоскость проекций π3 на четыре части: 1. Верхнюю переднюю полу π3 (оси Y и Z) 2. Верхнюю заднюю полу π3 (оси –Y и Z) 3. Нижнюю переднюю полу π3 (оси Y и –Z) 4. Нижнюю заднюю полу π3 (оси – Y и –Z) Для того, чтобы получить плоскую (двухмерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную π1 и профильную π3 плоскости совмещают с фронтальной π2 в том порядке как это показано стрелками на рис. 1.12.
Рис. 1.13. Пространственная модель точки А При этом горизонтальная плоскость проекций π1 вращается вокруг оси Х на 90°, а профильная плоскость проекций π3 вращается вокруг оси Z также на 90° (направление вращения показано на рис. 1.12). Полученное таким образом совмещение трех плоскостей проекций (рис. 1.13) является плоской моделью системы трех пространственных координатных плоскостей Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций π1, π2 и π3, которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюром Монжа. Порядок построения эпюры точки, расположенной в первом октанте. На рис. 1.13 изображена пространственная точка А, координаты которой (x, y, z) показывают величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций. Для того чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А: А1 – горизонтальную проекцию точки; А2 – фронтальную проекцию точки; А3 – профильную проекцию точки.
Рис. 1.14. Эпюр точки А На рис. 1.14 плоскости проекций π1 и π3 совмещены с плоскостью чертежа (с плоскостью проекции π2), а вместе с ними совмещены с плоскостью чертежа и проекции точки А (А1, А2, А3) и таким образом получена плоскостная модель координатных плоскостей проекций и плоскостная модель пространственной точки А – ее эпюра. Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется ее тремя координатами (рис. 1.14). На рис. 1.13 и рис. 1.14 также видно, что на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси Х, а также фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси Z:
|
На рисунке видны еще две плоскости общего положения; это грани SAC и SAB пирамиды. Четвертая грань пирамиды—основание ABC — является, очевидно, горизонтальной плоскостью, т. е. плоскостью частного положения. На рис. 107, б выделенная плоскость SCB изображена отдельно. Можно найти следы k и l этой плоскости. Линия СВ плоскости принадлежит горизонтальной плоскости проекций П1, т. е. является частью горизонтального следа l плоскости. Проводим горизонтальную проекцию l1 этого следа до пересечения с осью проекций х12 в точке F12. Эта точка является точкой схода следов. Для нахождения проекций второй точки, определяющей фронтальный след плоскости, продолжаем горизонтальную проекцию C1S1 прямой CS до пересечения ее с осью проекций х12 в точке N и которая является горизонтальной проекцией точки N, принадлежащей искомому фронтальному следу плоскости. Восставляем перпендикуляр из точки N1 к оси x12 и продолжаем его до пересечения с продолженной фронтальной проекцией C2S2 стороны CS треугольника. Полученную точку N2 соединяем с точкой схода следов F12. Таким путем находим фронтальную проекцию k2 фронтального следа k; горизонтальная проекция k1 этого следа будет совпадать с осью проекций x12 и с фронтальной проекцией l2 горизонтального следа l(k1 = l2).
Угол наклона этого следа к оси, очевидно, равен углу а' наклона самой плоскости о к фронтальной плоскости проекций П2. На комплексном чертеже (рис. 94, б) горизонтально-проецирующая плоскость а изобразится двумя следами k и l, причем фронтальный след k спроецируется на фронтальную плоскость проекций в виде прямой k2 _|_ х12, а на горизонтальную плоскость— в виде точки к1. Горизонтальная проекция сигма1 плоскости а совпадает с горизонтальной проекцией /, горизонтального следа l плоскости. В практике плоскости далеко не всегда пересекаются с плоскостями проекций. Нередко они задаются плоскими фигурами, отстоящими от плоскостей проекций (рис. 95, а). Показанная на рисунке плоскость о отстоит от плоскостей П2 и и не образует следов k и l. В таком случае плоскость а может быть задана на комплексном чертеже двумя своими проекциями сигма2 и сигма1 (рис. 95, б). Из сравнения чертежей видна легкость перехода от задания плоскости с помощью плоской фигуры к заданию ее с помощью следов. Для того чтобы построить следы плоскости 0 в предыдущем примере, достаточно продолжить горизонтальную проекцию сигма1 до пересечения с осью проекций х12 и из полученной точки F12 восставить перпендикуляр k2 к этой оси (рис. 96, а). Задание горизонтально-проецирующей плоскости двумя проекциями нужно в том случае, когда отсек плоскости имеет определенные форму и размеры. В остальных случаях достаточно задать одну горизонтальную проекцию сигма1 (рис. 96, б); фронтальной проекцией сигма2 плоскости будет являться все поле фронтальных проекций П2, которое в подобных случаях на комплексных чертежах обычно не подписывается (на рисунке обозначение сигма2 заключено в скобки). Иногда ошибочно считают, что поле фронтальных проекций П2 расположено только вправо от фронтальной проекции k2 фронтального следа k; при этом не учитывают ту часть плоскости о, которая расположена во II октанте и спроецируется левее линии k2 (сравните с рис. 89, б).
Плоскость т (k х l), перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций П2, называется фронтально-проецирующей (рис. 97, а). У фронтально-проецирующей плоскости горизонтальный след всегда перпендикулярен оси проекций x12. Фронтальный след k, как правило, наклонен к оси проекций под углом b. Этот угол равен углу наклона b' самой плоскости т (тау) к горизонтальной плоскости проекций П1. На комплексном чертеже (рис. 97, б) горизонтальная проекция l1 горизонтального следа l будет перпендикулярна оси проекций х12 а фронтальная проекция k2 фронтального следа к будет определять угол наклона самой плоскости т к горизонтальной плоскости проекций П1. Аналогично предыдущему случаю, плоскость т может быть задана плоской фигурой, не пересекающейся с плоскостями проекций (рис. 98, а). Фронтальная проекция плоскости т изобразится при этом прямой линией т2, а горизонтальная проекция — прямоугольником т1. Если форма отсека -плоскости неизвестна, то плоскость т задается одной фронтальной проекцией т2 (рис. 98, б). Горизонтальной проекцией т1 такой плоскости является все поле горизонтальных проекций П2. Плоскость v(k||l), перпендикулярная профильной плоскости проекций П2, называется профильно-проецирующей (рис. 99, а). Профильно-проецирующая плоскость параллельна оси х12, поэтому ее фронтальный k и горизонтальный | следы параллельны оси х12. Профильный след плоскости т проходит наклонно и определяет углы наклона а и b плоскости v (ипсилон) к плоскостям проекций П1 и П2. На комплексном чертеже (рис. 99, б) горизонтальная проекция фронтального следа совпадает с фронтальной проекцией горизонтального следа (k1 = l2); фронтальная и горизонтальная проекции m2 и m1 профильного следа т совпадают соответственно с осями z23 и у1. При задании такой плоскости отсеком целесообразно применять фронтальную v2 и профильную v3 проекции (рис. 100, а). В случае надобности может быть построена горизонтальная проекция v1. Для этого (рис. 100, б) строят постоянную прямую чертежа k123 и с помощью вертикально-горизонтальных линий связи находят недостающую горизонтальную проекцию-плоскости; способ построения показан на чертеже стрелками. Таковы три проецирующие плоскости о, т и и. Проецирующие плоскости могут в частном случае оказаться параллельными плоскостями проекций. Так, горизонтально-проецирующая плоскость может оказаться параллельной фронтальной плоскости проекций П2 (рис. 101, а). Такая плоскость называется фронтальной. Условимся обозначать ее греческой буквой λ. Нетрудно видеть, что фронтальная плоскость одновременно является горизонтально- и профильно-проецирующей; иногда говорят, что она является дважды проецирующей плоскостью. На рис. 101, б даны две проекции λ2 и λ1 фронтальной плоскости λ. Если не интересоваться формой и размерами фронтальной плоскости, то ее можно задавать одной горизонтальной проекцией λ1 параллельной оси проекций х12 (сравните с рис. 96,6).
Фронтально-проецирующая плоскость может оказаться параллельной горизонтальной плоскости проекций П1 (рис. 102, а). В этом случае ее называют горизонтальной. Будем обозначать такую плоскость греческой буквой μ. Горизонтальная плоскость одновременно является фронтально- и профильно-проецирующей, т. е. она тоже дважды проецирующая. На рис. 102, б приведены две проекции μ2 и μ1 горизонтальной плоскости μ. Из чертежа видно, что такая плоскость может быть задана одной фронтальной проекцией μ2||x12 (сравните с рис. 98, б). Третьей из группы параллельных плоскостей является профильная плоскость v (ню); она параллельна профильной плоскости проекций П3 и является одновременно горизонтально- и фронтально-проецирующей. Задание ее двумя основными проекциями v1 и v1, недостаточно наглядно, так как оно не выявляет формы плоского отсека (рис. 103, а). Форма отсека выявляется при проецировании на третью плоскость проекций П3, поэтому профильную плоскость на комплексном чертеже целесообразно задавать фронтальной v2 и профильной v3 проекциями (рис. 103, б); в случае надобности по ним может быть построена горизонтальная проекция v1. Таковы три параллельные плоскостям проекций плоскости λ, μ и v.
.
.
.
