Алгоритм построения плоскости, параллельной данной

 

Вербальная форма	Графическая форма
1. Для решения задачи в данной плоскости Р(D АBC) берутся любые пересекающиеся прямые. Например, АВ АС
2. Через точку D проводим прямую m: m2 || A2B2; m2 D2 m1 || A1B1; m1 D1
3. Через точку D проводим n || АС: n1 || А1С1; n2 || А2С2. Плоскость Q определяется двумя пересекающимися прямыми: Q (m n), так как эти две прямые параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС, плоскости Р и Q параллельны Р(D АВС) || Q (m n)

Две плоскости в пространстве могут быть либо взаимно параллельны, в частном случае совпадая друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.

1. Параллельные плоскости. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми ab (рис.7.1). Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми ab и точка В. Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости ab и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d. Согласно определения если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости то эти плоскости параллельны между собой. Для того чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой d||a, с||b; d1||a1,с1||b1; d2||a2,с2||b2; d3||a3,с3||b3.

Рисунок 7.1. Параллельные плоскости

2. Пересекающиеся плоскости, частный случай – взаимно перпендикулярные плоскости. Линия пересечения двух плоскостей является прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей. Рассмотрим построение линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая (рис.7.2).

Задача. Дано: плоскость общего положения задана треугольником АВС, а вторая плоскость - горизонтально проецирующая T. Требуется построить линию пересечения плоскостей. Решение задачи заключается в нахождении двух точек общих для данных плоскостей, через которые можно провести прямую линию. Плоскость, заданная треугольником АВС можно представить, как прямые линии (АВ), (АС), (ВС). Точка пересечения прямой (АВ) с плоскостью T - точка D, прямой (AС) -F. Отрезок [DF] определяет линию пересечения плоскостей. Так как T - горизонтально проецирующая плоскость, то проекция D1F1 совпадает со следом плоскости T1, таким образом остается только построить недостающие проекции [DF] на П2 и П3.

Рисунок 7.2. Пересечение плоскости общего положения с горизонтально проецирующей плоскостью

Перейдем к общему случаю. Пусть в пространстве заданы две плоскости общего положения a(m,n) и b (ABC) (рис.7.3).

Рисунок 7.3. Пересечение плоскостей общего положения

Рассмотрим последовательность построения линии пересечения плоскостей a(m//n) и b(АВС). По аналогии с предыдущей задачей для нахождения линии пересечения данных плоскостей проведем вспомогательные секущие плоскости g и d. Найдем линии пересечения этих плоскостей с рассматриваемыми плоскостями. Плоскость g пересекает плоскость a по прямой (12), а плоскость b - по прямой (34). Точка К - точка пересечения этих прямых одновременно принадлежит трем плоскостям a, b и g, являясь таким образом точкой принадлежащей линии пересечения плоскостей a и b. Плоскость d пересекает плоскости a и b по прямым (56) и (7C) соответственно, точка их пересечения М расположена одновременно в трех плоскостях a, b, d и принадлежит прямой линии пересечения плоскостей a и b. Таким образом найдены две точки принадлежащие линии пересечения плоскостей a и b - прямая (КМ).

Некоторого упрощения при построении линии пересечения плоскостей можно достичь, если вспомогательные секущие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.

Взаимно перпендикулярные плоскости. Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей перпендикулярных данной плоскости a(f,h). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a. Для того чтобы из точки А провести плоскость перпендикулярную плоскости заданной двумя пересекающимися прямыми hf необходимо из точки А провести прямую n перпендикулярную плоскости hf (горизонтальная проекция n перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h, фронтальная проекция n перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f). Любая плоскость проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости hf, поэтому для задания плоскости через точки А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми mn будет перпендикулярна плоскости hf (рис.7.4).

Рисунок 7.4. Взаимно перпендикулярные плоскости

11. Взаимно перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярности плоскостей.

 

Если плоскость проходит через прямую линию, перпендикулярную к другой плоскости (или параллельна этой прямой), то она перпендикулярна к этой плоскости. Следовательно, плоскость , перпендикулярную данной плоскости , можно построить:

1) либо как плоскость, проходящую через прямую, перпендикулярную плоскости ;
2) либо как плоскость, перпендикулярную одной из прямых, принадлежащих плоскости .

В обоих случаях задача имеет бесчисленное множество решений, если на плоскость не наложено каких-либо дополнительных условий.
Рис. 4.21

На чертеже (рис. 4.21) плоскость (m n) (а b) проведена через прямую m(m₁,m₂), перпендикулярную плоскости (а b).
Прямая n(n₁,n₂), пересекающая прямую m в точке М, выбрана произвольно.
Примечание. Если требуется провести плоскость , перпендикулярную данной плоскости (а b) и проходящую через заданную прямую n(n₁,n₂), то плоскость является единственным решением.
На чертеже (рис. 4.22) плоскость (h b) (a b) проведена перпендикулярно прямой b(b₁,b₂), принадлежащей плоскости , и задана поэтому горизонталью h[h₁ b₁, h₂ (М₁М₂)] и фронталью f[f₁ (М₁М₁), f₂ b₂].
Рис. 4.22

Примечания:1. Если плоскость (h f) провести перпендикулярно горизонтали, принадлежащей плоскости (а b), то плоскость расположится перпендикулярно к плоскостям и П₁ т. е. будет горизонтально проецирующей.
2. Если плоскость (h f) провести перпендикулярно фронтали, принадлежащей плоскости (а b), то плоскость расположится перпендикулярно к плоскостям и П₂, т. е. будет фронтально проецирующей.
Плоскость, перпендикулярная одновременно двум заданным плоскостям, может быть построена:
1) либо как плоскость, перпендикулярная линии их пересечения;
2) либо как плоскость, проходящая через перпендикуляры к ним, построенные из одной точки пространства.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Доказательство: Пусть - плоскость, b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.

12. Взаимное положение прямой и плоскости (перечислить возможные случаи). Прямая параллельная плоскости.

Известны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1. Прямая принадлежит плоскости.

2. Прямая параллельна плоскости.

3. Прямая пересекает плоскость.

принадлежность прямой плоскости

Сформулируем условие принадлежности прямой плоскости как аксиомы:

Аксиома 1. Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Аксиома 2. Прямая принадлежит плоскости, если имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна какой-либо прямой расположенной в этой плоскости.

Проиллюстрируем примерами использование этих аксиом.

Задача. Дана плоскость (n,k) и одна проекция прямой m₂ (рис.53).

Требуется найти недостающие проекции прямой m, если известно, что она принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k.

Проекция прямой m₂ пересекает проекции прямых n₂ и k₂ в точках В₂ и С₂ соответственно. Для нахождения недостающих проекций прямой необходимо найти недостающие проекции точек В и С как точек, лежащих на прямых n и k соответственно.

Таким образом, точки В и С принадлежат плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эти точки, значит, согласно аксиоме 1, прямая принадлежит этой плоскости.

 

 

а) модель	б) эпюр
Рисунок 53. Прямая и плоскость имеют две общие точки

Задача. Через точку В провести прямую m, если известно, что она принадлежит плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k (рис.54).

Пусть точка В принадлежит прямой n, лежащей в плоскости заданной пересекающимися прямыми n и k. Через проекцию В₂ проведем проекцию прямой m₂ параллельно прямой k₂, для нахождения недостающих проекций прямой необходимо построить проекцию точки В₁, как точки лежащей на проекции прямой n₁ и через неё провести проекцию прямой m₁ параллельно проекции k₁.

Таким образом, точка В принадлежит плоскости, заданной пересекающимися прямыми n и k, а прямая m проходит через эту точку и параллельна прямой k, значит согласно аксиоме 2 прямая принадлежит этой плоскости.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 54. Прямая имеет с плоскостью одну общую точку и параллельна прямой расположенной в этой плоскости
Прямая, параллельная плоскости

При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости.