Анализ нелинейных систем на фазовой плоскости. Класси­фикация особых точек. Автоколебания. – Кузнецов

 

Анализ нелинейных систем на фазовой плоскости. К нелинейным относят системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями.

Система является нелинейной вследствие наличия в ее составе звеньев, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, или имеющих нелинейную статическую характеристику (например, дискриминационную).

Нелинейный режим работы имеет место в системе при выходе ошибки слежения за пределы линейного участка (переходной режим, срыв слежения, большой уровень помех и т.д.).

Метод кусочно-линейной аппроксимации. Нелинейная характеристика разбивается на ряд линейных участков, в пределах каждого из которых система описывается линейным дифференциальным уравнением. Далее на каждом из этих участков система исследуется линейными методами; находятся решения, описывающие работу системы, которые затем "сшиваются". Метод удобен при небольшом числе участков разбиения. Недостаток метода в громоздкости вычислений при увеличении количества участков.

Метод гармонической линеаризации. Нелинейный элемент (НЭ) заменяется его линейным эквивалентом. Критерий эквивалентности состоит в равенстве первой гармоники напряжения на выходе НЭ и его линейного эквивалента по амплитуде и фазе при подаче на входы НЭ и его эквивалента гармонического сигнала. Метод эффективен, когда все высшие гармоники подавляются последующими цепями.

Метод фазовой плоскости. Применяется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями первого и второго порядков. Состоит в построении и исследовании фазового портрета системы в координатах исследуемой величины и ее производной.

Используется для анализа переходных режимов работы, оценки устойчивости системы, возможности возникновения периодических колебаний.

Предположим, что поведение следящей системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка

. (7)

Обозначим

х = х1;

;

. (8)

Состояние системы, описываемой уравнениями (8), определяется в каждый момент времени величинами и т.е. величиной координаты и скоростью ее изменения. Это состояние системы можно отобразить точкой на плоскости с координатами , называемой фазовой плоскостью. При изменении состояния системы изображающая точка перемещается на фазовой плоскости по кривым, которые называют фазовыми траекториями. Совокупность фазовых траекторий для различных начальных условий называют фазовым портретом.

Чтобы получить уравнение фазовых траекторий, исключим из (2) время, поделив для этого второе из них на первое:

. (9)

Его решение . Каждой комбинации начальных условий соответствует свое решение уравнения (3) и своя фазовая траектория.

Для затухающего монотонного процесса (рис.7а) фазовая траектория приведена на рис.7б.

Eсли в системе возникают периодические колебания, на фазовой плоскости они отображаются в виде замкнутой кривой, называемой предельным циклом. Предельный цикл является устойчивым, если при некоторых отклонениях от него фазовая траектория вновь стремится к предельному циклу. При расхождении фазовых траекторий предельный цикл называется неустойчивым.

Построение фазовых траекторий позволяет судить о свойствах нелинейных систем по переходному процессу.

 

 

Рис.7. Апериодический процесс и его фазовая траектория.

Построение фазового портрета системы обычно начинают с определения его характера вблизи точек равновесия системы, в которых производные . Координаты точек равновесия определяются, как следует из (8), равенствами , . Точки равновесия при построении фазового портрета системы называют особыми.

Класси­фикация особых точек. Поведение фазовых траекторий вблизи особых точек зависит от характера корней соответствующего характеристического уравнения

,

где

- отклонение от состояния равновесия.

Если и , то процесс является затухающим гармоническим колебанием

Фазовая траектория, построенная по приведённым выражениям для процессов и , имеет вид скручивающейся спирали (см. рис.8), получившей название – устойчивый фокус.

При и процесс является гармоническим колебанием с нарастающей амплитудой. Особая точка соответствует при этом неустойчивому состоянию равновесия и называется неустойчивым фокусом (см. рис.9).

При выполнении условия корни действительные и имеют одинаковый знак. Если они отрицательны, то особая точка является устойчивым узлом (см. рис.10). Положительным корням соответствует особая точка типа неустойчивого узла (см. рис.11). При корни действительные и имеют разные знаки. Особая точка называется седлом (см. рис.12).

 

Рис.8. Устойчивый фокус. Рис.9. Неустойчивый фокус.

 

 

 

Рис.10. Устойчивый узел. Рис.11. Неустойчивый фокус

 

.

 

Рис.12. Особая точка типа седла.

Автоколебания — незатухающие колебания в диссипативной динамической системе с нелинейной обратной связью, поддерживающиеся за счёт энергии постоянного, то есть непериодического внешнего воздействия.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Помимо состояний равновесия в нелинейных системах, возможно установление периодических процессов, называемых автоколебаниями. Автоколебания не порождаются внешними периодическими воздействиями, а возникают за счет внутренних свойств нелинейной системы. Таким образом, в отличие от линейных систем в нелинейных системах возможно наличие нескольких положений равновесия и специфических автономных периодических режимов — автоколебаний.

Состояния равновесия и автоколебания могут реально существовать лишь в том случае, когда они устойчивы, причем при устойчивых автоколебаниях могут быть неустойчивые состояния равновесия, и наоборот. В отличие от линейных систем устойчивость нелинейных систем может зависеть от величины отклонения от положения равновесия, вызванного возмущающим или управляющим воздействием (от величины возмущения). При этом система может быть устойчивой при малых отклонениях и неустойчивой при больших, т. е. можно говорить, что система устойчива «в малом» и неустойчива «в большем». Если система устойчива при любых начальных отклонениях, ее называют устойчивой «в целом», аналогично линейной системе.