Линейные ограниченные функционалы

Линейные ограниченные функционалы и операторы в нормированных пространствах

 

Определение. Пусть – нормированное пространство над полем (). Ограниченный линейный оператор называется ограниченным (непрерывным) линейным функционалом.

Пространство ограниченных линейных функционалов на Х обозначается (или ) и называется сопряженным к Х.

Ниже для числа через q будет обозначаться такое число, что (при считается, что ).

Теорема (об общем виде линейного ограниченного функционала в ). Пусть – пространство с -конечной мерой, . Для любого ограниченного линейного функционала f на существует такое единственное , что

,

и обратно, любой функционал такого вида линеен и ограничен на . При этом .

Примечание. Пространство состоит из существенно ограниченных функций (функция называется существенно ограниченной на отрезке , если почти всюду на ). Норма в пространстве задается следующим образом:

{ п.в. на }.

Следствие (об общем виде линейного ограниченного функционала в ). Пусть . Для любого ограниченного линейного функционала f на существует такое единственное , что

,

и обратно, любой функционал такого вида линеен и ограничен на . При этом .

Теорема (об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве ). Для любого ограниченного линейного функционала f на существует такое единственное , что

,

и обратно, любой функционал такого вида линеен и ограничен на . При этом .

Ниже через обозначается пространство функций ограниченной вариации на , - вариация функции .

Теорема (об общем виде линейного ограниченного функционала в ). Для любого ограниченного линейного функционала f на существует единственная непрерывная слева функция , такая, что F (a) =0 и

,

и обратно, любой функционал такого вида линеен и ограничен на . При этом .

 

4.1.1. Используя теорему об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.1).

 

Таблица 4.1.1

 

Вариант
1	2

Окончание таблицы 4.1.1

 

1	2

4.1.2. Используя теорему об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.2).

 

Таблица 4.1.2

 

Вариант
1	2	3
	7/4

 

Окончание таблицы 4.1.2

 

1	2	3
	5/4

4.1.3. Используя теорему об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.3).

 

Таблица 4.1.3

 

Вариант	p	a	b
1	2	3	4	5
	9/2	- 1
	6/5	- 1

 

Окончание таблицы 4.1.3

 

1	2	3	4	5
		- 1
		-1
	9/5	-1
	5/4

 

4.1.4. Используя теорему об общем виде линейного ограниченного функционала в пространстве , выяснить, задает ли данная формула линейный ограниченный функционал. В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.4).

 

Таблица 4.1.4

 

Вариант	a	b
1	2	3	4
	- 1

 

Окончание таблицы 4.1.4

 

1	2	3	4
	- 3
	- 2
	-2
	-1
	-2
	-4

 

4.1.5. Пусть Х – банахово пространство над полем К. Задает ли данная формула линейный ограниченный функционал ? В случае положительного ответа найти его норму (таблица 4.1.5).

 

Таблица 4.1.5

 

Вариант
1	2	3	4
	с

Окончание таблицы 4.1.5

 

1	2	3	4
	с
	с