Тема 12. Повторные независимые испытания

[6] гл. 5; [7] № 112, 115, 119, 120, 131.

Разберите решения задач 16—19 методических указаний.

Задача 16. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Решение. Пусть событие А — из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В — из 4 семян взойдут 3 семени; событие С — из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей

Р(А)=Р(В)+Р(С).

Вероятности Р(В) и Р(С) определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р, а вероятность не- наступления этого события равна q=1—р. Тогда вероятность того, что событие А в n испытаниях появится ровно R раз, вычисляется по формуле Бернулли

P (R)=C ,

где C = - число сочетаний из n элементов по R.

Тогда

Р(В) =Р (3) =С р q = ;

Р(С) = Р (4) =С .

Искомая вероятность

Р(А) =0,2916+0,6561 =0,9477.

Задача 17. Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 посеянных семян взойдут 350 семян.

Решение. Вычислить искомую вероятность Р (350) по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:

,

Где и х= .

Из условия задачи р = 0,9; q = 1—0,9 = 0,1; n = 400; R = 350.

Тогда х=

Из таблицы 1 приложений находим (—1,67) = (1,67) = 0,0989. Искомая вероятность равна

.

Задача 18. Среди семян пшеницы 0,02% сорняков. Какова вероятность того, что при случайном отборе 10 000 семян бу­дет обнаружено 6 семян сорняков?

Ре шел и е. Применение Локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности р = 0,0002 приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения Поэтому при малых значениях р для вычисления применяют асимптотическую формулу Пуассона

, где е=2,7182...; = пр.

Эта формула используется при 10, причем чем меньше р и больше п, тем результат точнее.

По условию задачи р = 0,0002; n= 10 000; R= 6. Тогда = 10 000 0,0002 = 2 и

.

 

Задача 19. Процент всхожести семян пшеницы равен 90%. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян взойдут от 400 до 440 семян.

Решение. Если вероятность наступления события А в каждом из п испытаний постоянна и равна р, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях насту­пит не менее раз и не более раз определяется по инте­гральной теореме Лапласа следующей формулой:

, где

 

, .

 

Функция Ф(х) = называется функцией Лапласа. В приложениях (табл. 2) даны значения этой функ­ции для . При х>5 функция Ф(х)=0,5. При отрица­тельных значениях х в силу нечетности функции Лапласа Ф(-х)=-Ф(х). Используя функцию Лапласа, имеем:

.

По условию задачи n=500; р=0,9; q= 0.1; ; .По приведенным выше формулам находим :

; .

Тогда

.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется событием? Приведите примеры событий; достоверных событий; невозможных событий,

2. Какие события называются несовместимыми? совместимыми? противоположными?

3. Что называется относительной частотой события?

4. Сформулируйте статистическое определение вероятности события.

5. Сформулируйте классическое определение вероятности события.

6. Что называется условной вероятностью события?

7. Сформулируйте теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий.

8. Напишите формулу полной вероятности.

9. Как найти наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях?

10. Напишите формулу Бернулли. В каких случаях она применяется?

11. Сформулируйте локальную и интегральную теоремы Лапласа.

12. Напишите формулу Пуассона. В каких случаях она применяется?