Многозначная логика

 

Понятие многозначности в логике. В логике под термином «многозначность» чаще всего понимают характеристику выражения, имеющего в разных контекстах разное значение. Например, слово «закон» может означать как регулярность, имеющую место в природе или обществе, так и утверждение о такой регулярности, сформулированное в языке науки. С многозначностью связана одна из основных трудностей понимания говорящими друг друга. Подавляющее большинство слов естественного языка многозначно («жизнь» - более тридцати значений).

Многозначность как ест. и неотъемлемая черта ест. языка сама по себе не является недостатком. Но она таит в себе потенциальную возможность логической ошибки. В процессе общения всегда предполагается, что в конкретном рассуждении смысл входяших в него слов не меняется. Если речь идет о новом как, допустим, незнакомом, пока не будет оставлена данная тема, слово «новый» должно обозначать «незнакомый», а не «следующий» или «современный». Логическая ошибка, связанная с подменой слова получила название эквивокации. Пример ошибки: «В грамматике достаточно знать только имена существительные, т.к. глагол, наречие, прилагательное и т.д. - все это существительные».

Многозначными могут быть не только отдельные слова, но и части фраз, и целые фразы. Например, высказывание «Часть программы полностью не была выполнена» может означать, что эта часть оказалась полностью невыполненной, но может означать, что она была выполнена не полностью. Логическая ошибка, связанная с подменой одного значения высказывания другим возможным его значением, именуется амфиболией.

Принцип многозначности.. Этот принцип означает положение, в соответствии с которым всякое высказывание имеет одно (и только одно) из трех и более истинностных значений. Принцип многозначности лежит в основе многозначной логики и противопоставляется лежащему в фундаменте классической логики принципу двузначности. Согласно последнему, всякое высказывание является либо истинным, либо ложным, т.е. принимает одно из двух возможных истинностных значений - «истинно» и «ложно». Принцип многозначности говорит, что высказывание имеет одно из n значений истинности, где n больше двух и может быть как конечным, так и бесконечным.

Первыми логическими системами, опирающимися на принцип многозначности были трехзначная логика Я.Лукасевича и n-значная логика Э.Поста, в которой высказываниям приписывались значения из конечного множества натуральных чисел 1, 2, …, n, где n больше единицы и конечно.

Введение в логику многозначных систем со всей остротой поставило проблему содержательно ясной интерпретации формальных логических построений. Как только допускается более двух значений истинности, встает вопрос: что, собственно, означают промежуточные между истиной и ложью значения? Если истина понимается как соответствие мысли действительному положению дел, то существуют ли вообще высказывания не являющиеся ни соответствующими действительности, ни несоответствующими ей? Введенгие промежуточных значений истинности изменяет смысл самих понятий истины и лжи. Поэтому нужно не просто говорить о придании смысла промежуточным значениям истинности, но и о переистолковании данных двух понятий. Истина и ложь, как они понимаются в классической двузначной логике, не совместимы с допускаемыми принципом многозначности дополнительными значениями истинности.

Несмотря на большое число предложенных многозначных систем и предпринятых попыток их содержательного обоснования, идея, что логика, предполагающая более двух зачений истинности, не является «формальным упражнением», все еще не кажется бесспорной.

Обычно предполагается, что в случае допущения более двух значений истинности крайними значениями являются «явная истина» и «явная ложь», промежуточные значения представляют постепенно убывающие градации истины и постепенно возрастающие градации лжи. В предельном случае трехзначной логики промежуточное между «истинно» и «ложно» значение истолковывается как некоторая «неопределенность» («возможность», «проблематичность» и т.п.), равноотстоящая от обоих, достаточно ясных и определенных полюсов.

Имеется и другой возможный подход к обоснованию многозначной логики и лежащего в ее основе принципа многозначности. Можно считать, что между истиной и ложью нет никаких промежуточных значений и что многозначная логика имеет дело не с «расщеплением» истины на систему выделенных значений и лжи - на систему невыделенных, а с некоторыми дополнительными характеристиками высказываний, отличными от истинностных значений. В этом случае нет необходимости настаивать на том, что наряду с истиной и ложью имеются иные истинностные значения. Всякое высказывание является либо истинным, либо ложным, но многозначная логика, в отличие от двузначной, стремится учесть не толко это обстоятельство, но и особенности той области, в которой истинно высказывание, метод, с помощью которого устанавливается его истинность и т.д.

Например, А.Роуз построил девятизначную логику, в которой геометрическим высказываниям приписываются значения: 1 - «истинно в геометриях Евклида, Римана и Лобачевского», 2 - «истинно в геометриях Евклида и Римана, но ложно в геометрии Лобачевского», 3 - «истинно в геометриях Евклида и Лобачевского, но ложно в геометрии Римана» и т.д. Как видно, этой многозначной логикой не предполагается, что, помимо истины и лжи, имеются еще какие-то значения истинности.

Еще одним примером такого рода является четырехзначная логика, в которой высказывания делятся не только на истинные и ложные, но также на чисто абстрактные, или математические, и конкретные, содержащие ссылку на некоторые эмпирические объекты. Значение 1 приписывается истинному абстрактному высказыванию, 2 - истинному конкретному, 3 - ложному конкретному и; - ложному абстрактному.

Изучение логических систем, опирающихся на принцип многозначности, и сопоставление их с классической двузначной логикой показало, что ни тот, ни другой принципы, лежащие в осмнове отдельных логических систем, не составляют фундамента логики. Двузначность и многозначность - всего лишь отдельные характеристики определенных логических систем, не раскрывающие всего своеобразия последних, а иногда даже не схватывающие существенных их черт. Логика в целом не является ни двузначной, ни многозначной.

 

Многозанчная логика как совокупность логических систем.

 

Исторически первой системой многозначной логики является трехзначное исчисление высказываний Лукасевича (1920). Исходя из анализа свойств и отношений модальных высказываний, Лукасевич пришел к выводу, что здесь нужна логика, в которой, помимо обычных значений истинности, фигурирует третье значение («возможно»).

Независимо от Лукасевича построил систему многозначной логики Э.Пост (1921). В отличие от Лукасевича, Пост при разработке своей системы исходил из чисто формальных соображений: он просто допустил, что число значений истинности высказываний может быть больше, чем 2, и исследовал вытекающие из этой гипотезы последствия для логики высказываний.

 

 

В трехзначной логике Лукасевича значения истинности высказываний отождествляются с числами 1 (истинно), 0 (ложно) и 1/2 (третье значение). В качестве основных выбираются две функции [обозначаемые через N и C и соответствующие отрицанию и (материальной) импликации двузначной логики], которые определяются так:

(1) Nx=1-x Nx=0 при x=1

Nx=1 при x=0

Nx=1/2 при x=1/2

 

(2) Cxy=min(1, 1-x+y) [значение истинности импликации высказываний x и y равно меньшему из чисел 1 и 1-x+y; например, при х=1 и у=1/2 импликация Сху имеет значение min (1, 1-1+1/2)=1/2]

Таблицы:

для Nx для Сху

х ½ Nx у ½ 1 1/2 0

1 ½ 0х ½.

1/2 ½|1/21 ½ 1 1/2 0

0 ½ 1 1/2 ½ 1 1 1/ 2

0 ½ 1 1 1

Функции трехзначной логики Лукасевича, соответствующие дизъюнкции и конъюнкции двузначной логики (обозначаемые через А и К), определяются так:

 

(3) Аху=max (x, у) т.е. значение истинности дизъюнкции х и у равно большему из значений истинности х и у

(4) Кху=min (х, у) т.е. значение истинности конъюнкции х и у равно меньшему из значений х и у

Функции А и К можно определить через N и С, соответственно, как

Ссхуу (х Éу) Éу

NCCNxNyNy ù ((ùx Éùy) Éùy)

 

Высказывания, принимающие значение 1 при любых значениях истинности образующих их высказываний (аргументов), рассматриваются в качестве законов трехзначной логики Лукасевича (или тавтологий). Таковы, например, высказывания CNNxx и CxNNx.

Закон исключенного третьего AxNx и закон противоречия NKxNx, законами не являются (в трехзначной системе Лукасевича) т.к. при х=1/2 они имеют значение истинности 1/2:

A1/2 N1/2=A1/2 1/2=1/2

NK1/2N1/2=NK1/2 1/2=N1/2=1/2

 

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавталогиями классической двузначной логики, поскольку при отбрасывании значения 1/2 в обоих логиках совпадут определения конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания.