Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).

 

Рис.11.6.Угол между плоскостями

 

Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).

 

Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый

 

 

Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой

 

В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и .

Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как

то в обоих случаях .

По определению скалярного произведения . Откуда

и соответственно

(11.4)

Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.

Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:

(11.5)

Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей

(11.6)

где -- любое число.

У гол между прямой и плоскостью

 

Пусть прямая d - не перпендикулярна плоскости θ;

d ′− проекция прямой d на плоскость θ;

Наименьший из углов между прямыми d и d ′ мы назовем углом между прямой и плоскостью.

Обозначим его как φ=(d,θ)

Если d ⊥θ, то (d,θ)=π/2

Oi → j → k →− прямоугольная система координат.

Уравнение плоскости:

θ: Ax + By + Cz + D =0

Считаем, что прямая задана точкой и направляющим вектором: d [ M 0, p →]

Вектор n →(A, B, C)⊥θ

Тогда остается выяснить угол между векторами n → и p →, обозначим его как γ=(n →, p →).

Если угол γ<π/2, то искомый угол φ=π/2−γ.

Если угол γ>π/2, то искомый угол φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

 

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тогда, угол между прямой и плоскостью можно считать по формуле:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+ Bp 2+ Cp 3∣ ∣ √ A 2+ B 2+ C 2√ p 21+ p 22+ p 2