КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

 

Общие положения

 

Применяемые для сварных конструкций металлы практи­чески никогда не бывают химически чистыми, так как содер­жат легирующие добавки и примеси. Различная раствори­мость элементов в твердом и жидком металле основы приво­дит и к различной их концентрации в объемах металла, при­легающих к фронту кристаллизации со стороны твердой и жидкой фаз.

В равновесных условиях концентрацию ликвирующей рас­творимой примеси в твердом и жидком металле можно опре­делить по диаграмме плавкости. Применительно к бинарной системе неограниченно растворимых компонентов А и В легко показать, что

(19)

 

где С^Тв, С^Ж – концентрация компонента В и А в твердой и жидкой фазах соответственно, k₀ – равновесный коэффициент ликвации.

Выражение (19) в случае реальных неравновесных условий кристаллизации, как показал Нернст, справедливо в не­посредственной близости к фронту кристаллизации. На уровне макрообъемов имеет место локальное равновесие. Это позво­ляет использовать литературные данные по равновесному ко­эффициенту ликвации k₀ для расчета поля концентрации ликвирующей примеси при кристаллизации сварочной ванны или слитка. Заметим, что процесс выпадения кристаллов раз­личающегося химического состава, по сравнению с исходной жидкостью, иногда называют в литературе разделительной диффузией. Равновесный коэффициент ликвации некоторых элементов в железе приведен в табл. 1.2, с. 276, [1].

Важнейшее отличие между равновесным и неравновесным протеканием процесса кристаллизации состоит в следующем. При равновесной кристаллизации процесс идет бесконечно медленно и химический состав по ликвирующему элементу для всякой температуры из интервала ликвидус – солидус, как в жидкой, так и в твердой фазах полностью выравнива­ется. Выравнивание химического состава в жидкой фазе про­исходит за счет перемешивания металла и диффузии, а в твер­дой только за счет диффузии. В реальных условиях неравновесной кристаллизации выравнивание химического состава вблизи фронта кристаллизации ни в твердой ни в жидкой фазах происходить не успевает. В связи с этим в прифрон­товой области устанавливается неравномерное нестационар­ное концентрационное поле – в твердом металле С_S (x, t), а в жидкости С_L (х, t) (для одномерного случая при плоском фронте).

При построении математической модели предполагается, что фронт кристаллизации неподвижен, выравнивание кон­центрации ликвирующего элемента в твердой и жидкой фазах происходит за счет диффузии. Коэффициенты диффу­зии в твердом D_S и жидком D_L металле различны, но не за­висят от температуры. Тогда концентрационные поля С_S (x, t) и С_L (х, t) подчиняются следующей системе дифференциаль­ных уравнений диффузии (уравнений А. Фика):

(20)

 

(21)

 

Фронт кристаллизации расположен перпендикулярно оси абс­цисс при x =0, причем металлическая жидкость находится в области х >0. В исходном состоянии предполагается равно­мерное распределение ликвирующего элемента в обеих фазах с концентрациями С _{0 L}, и С _{0 S} в жидком и твердом металлах соответственно. Это дает начальные условия следующего вида:

 

(22)

(23)

На границе раздела фаз в любой момент времени условие локального термодинамического равновесия позволяет запи­сать первое краевое условие при t >0:

(24)

Причем концентрация ликвирующего элемента в твердом теле вычисляется слева от фронта (при x <0), а в жидко­сти – справа (при x >0).

Действие закона сохранения количества вещества в условиях разделительной диффузии ликвирующего элемента дает на границе раздела фаз краевое условие неизменности по­тока вещества из твердого металла в жидкость при t >0:

 

(25)

 

При этом, очевидно, закон сохранения вещества действует для всего рассматриваемого континуума, т. е. при t >0:

 

(26)

 

Поставленная выше краевая задача (20)... (26) для част­ного случая была решена Иостом, а в приведенной выше постановке – Б. А. Мовчаном. Ее решение имеет вид:

 

 

(27)

 

 

 

(28)

 

 

Диффузионная подвижность любого ликвирующего эле­мента в жидкости выше, чем в твердом металле – D_L > D_S.

Достаточно тяжелым допущением при построении мате­матической модели (20)... (28) является предположение о неподвижности фронта кристаллизации. Если отказаться от этого допущения и считать, что фронт перемещается по закону x = x(t) (задача Стефана), то условие (25) следует заменить на:

(29)

 

при .

Замена условия (25) на (29) делает поставленную крае­вую задачу нелинейной и резко усложняет ее решение.

На рис. 3 по данным Б. А. Мовчана, для примера, при­ведено распределение ликвирующего в железе углерода.

 

 

Рис. 3. Распределение углерода в железе вблизи фронта кристаллизации:

t – начальное при t =0; 2– t= 1 c; 3– t= 5 c; 4– t= 10 c при x >0 – жидкая фаза, при х<;0 – твердая фаза, x =0 – фронт кристаллизации.

 

Помимо ликвации, другим важнейшим процессом, влияю­щим на формирование химической неоднородности металла сварных швов, является диффузия в твердой фазе (иногда называемая атомной диффузией). За счет диффузии проис­ходит выравнивание неоднородности поля концентрации эле­ментов, возникшей вследствие ликвации. В то же время при сварке разнородных металлов диффузия может привести к усилению химической неоднородности металла шва и око­лошовной зоны. Последнее может иметь место, как правило, при образовании химических соединений диффундирующего элемента с основой или растворенными в ней элементами. Возможны также случаи различного химического состава свариваемого и наплавленного металла, предусмотренные технологией сварки.

Математическая модель процесса одномерной диффузии (одномерной для простоты рассмотрения) может быть представлена уравнением Фика второго рода, см. формулу (20). Однако это уравнение получено в предположении не­зависимости коэффициента диффузии D от температуры. Та­кое допущение вполне оправдано для исследования процесса ликвации, так как последняя протекает в узком температур­ном интервале. В то же время расчет диффузионного пере­распределения элементов в условиях термического цикла сварки требует учета зависимости коэффициента диффузии от температуры:

(30)

 

где D ₀ – частотный множитель, Е – энергия активации, R =8,31 Дж/моль×К. Так, например, коэффициент диффузии углерода в a-железе в диапазоне температур 500... 750 °С изменяется на два порядка. Второе уравнение Фика при условии D = D (Т) становится нелинейным:

 

(31)

 

Решение нелинейного уравнения (31) с соответствующими краевыми условиями является более сложным по сравнению с линейным.

Простая для практического использования математиче­ская модель расчета диффузионного перераспределения эле­ментов под действием термического цикла сварки с учетом зависимости D (T) была предложена Г. Л. Петровым.

Сущность этой методики состоит в следующем. Исследование аналитических решений ряда важных для практики краевых задач линейного уравнения диффузии показывает, что аргумент время (t) входит в решение в виде произведения на коэффициент диффузии, т. е. как Dt. Пусть в пределах некоторого малого объема металла расчетом или экспери­ментом определен термический цикл сварки (рис. 4). Разо­бьем температурный интервал от максимальной температуры до температуры низкой диффузионной подвижности иссле­дуемого элемента Т ₄ (см. рис. 4) на несколько отрезков, соответствующих периодам времени t ₁, t ₂ ..., t ₄. В преде­лах выбранного периода t_i коэффициент диффузии D_i пред­полагается постоянным, соответствующим температуре T_i.

 

 

Рис. 4. К расчету диффузионного перераспределения элементов по методу

Г.Л. Петрова.

Для расчета поля концентрации диффундирующего элемента выбирается одно значение коэффициента диффузии (например, D ₁). Вместо реальной длительности охлаждения объема металла t _охл Г. Л. Петров предложил ввести экви­валентное время процесса:

(32)

 

Далее, зная D _э и t _э можно воспользоваться для расчета поля концентрации готовыми аналитическими решениями задач изотермической диффузии, используя вместо пара­метра время t величину t _э. Экспериментальные исследования подтвердили правомерность этой схемы, несмотря на отсут­ствие ее математического обоснования.

Для иллюстрации методики использования модели Г. Л. Петрова рассмотрим расчет диффузионного перерас­пределения элементов при различном исходном химическом составе основного металла и металла шва. Пусть в момент отвердевания сварного шва концентрация исследуемого эле­мента в шве постоянна и равна С _ош, а в основном металле С _ом. Будем считать, что режим сварки и геометрические раз­меры сварного изделия с тепловой точки зрения удовлетво­рительно описываются схемой линейного быстродвижущегося источника в пластине, без учета поверхностной теплоотдачи:

 

(33)

 

где d – толщина свариваемой пластины, у – расстояние от оси шва до исследуемой точки А, t – время, прошедшее с момента прохождения источником тепла проекции точки на ось x.

Продифференцировав формулу (33) по t и воспользовав­шись необходимым условием максимума, легко найти макси­мальную температуру Т_m, и время ее достижения t_m по заданной координате исследуемой точки:

(34)

(35)

 

 

Положив Т=Т_m, можно вычислить максимальную ширину сварного шва b:

(36)

 

(37)

 

 

Для расчета поля концентрации С (x, t) воспользуемся готовым аналитическим решением задачи о диффузии эле­мента из слоя конечной ширины неограниченного образца в изотермических условиях (в соответствии с моделью Г. Л. Петрова, рис. 5). Можно показать, что для этого случая:

 

 

(38)

 

где t _э рассчитывается по формуле (32).

 

 

Рис. 5. Диффузионное перераспределение элемен­та при различной концентрации его в шве и основном металле:

а – схематизация сварного изделия; б – концентрационные кривые С (х, t):1 –t_э= 0; 2 –t_э=t_э; 3 –t_э=t_э, где 0< t ₁< t ₂.

 

Поскольку наибольший интерес представляет диффузи­онное перераспределение элементов вблизи границы сплавления, то D ₁ следует выбрать по температуре Т ₁, близкой к T _пл. Тогда для углеродистых сталей можно положить Т ₁ = 1500°С.

Температурная кривая (рис. 4) должна соответствовать периоду охлаждения на кривой термического цикла, т. е. t ³ t _m. При этом общее время охлаждения t _охл можно огра­ничить остыванием до таких температур, при которых диф­фузионная подвижность большинства легирующих элементов примесей (за исключением водорода) в твердых металлах незначительна. Например, можно ограничиться уменьшением коэффициента диффузии в 100 раз:

 

(39)

 

В табл. 2 приведены энергия активации Е и частотный множитель D ₀ для некоторых элементов в железе (по лите­ратурным данным).

 

Т а б л и ц а 2

 

Элемент	D 0, см2/с	E, кДж/г×атом
Углерод	0,15
Сера	2,42
Фосфор	7,1´10-3
Никель	0,77
Медь	3,0

Задача 1. Для заданных ликвирующих элементов и их на­чальных концентраций С _{0 S} и С_0L, известным коэффициентам диффузии D_L, D_S и ликвации k₀, рассчитать по методике Мовчана-Иоста распределение ликвирующих элементов вблизи границы сплавления в два различных момента вре­мени t ₁, t ₂.

Исходные данные и варианты приводятся в табл. 3. Ре­зультаты расчетов необходимо привести в виде графиков концентрационных зависимостей, аналогично показанным на рис. 3.

Задача 2. По методу Г. Л. Петрова рассчитать диффузи­онное перераспределение заданных элементов, растворенных в железе, при различных исходных составах основного ме­талла С _ом и шва С _ош. Геометрические размеры сварного из­делия и режим сварки допускают применение тепловой схемы линейного быстродвижущегося источника в пластине.

Исходные данные для расчета приведены в табл. 4. В по­яснительной записке необходимо привести результаты рас­четов на ЭВМ: t _m, y_m, b, Т_m; координаты точек графика ветви охлаждения термического цикла и сам график; коор­динаты точек концентрационной кривой C (x, t) и ее график (см. рис. 5).

Т а б л и ц а 3

 

Варианты и исходные данные

Параметры
Последняя цифра шифра студента
Ликвирующий элемент	УГЛЕРОД	СЕРА	ФОСФОР
Коэффициент диффузии в жидком металле DL, см2/с	5´10-5	5´10-7	8´10-7
Коэффициент диффузии в твердом металле DS, см2/с	1´10-5	1´10-7	1´10-7
Концентрация элемента в жидком металле C 0 L, %	0,2	0,2	0,3	0,4	0,02	0,03	0,04	0,04	0,04	0,05
Концентрация элемента в твердом металле C 0 S, %	0,4	0,4	0,5	0,6	0,04	0,05	0,06	0,02	0,02	0,03
Предпоследняя цифра шифра студента
Время t 1, c	0,5	1,0	2,0	0,5	0,5	1,0	2,0	0,5	1,0	2,0
Время t 2, c	6,0	10,0	14,0	6,0	6,0	10,0	14,0	6,0	10,0	14,0

 

 

Т а б л и ц а 4

 

Варианты и исходные данные

Параметры
Последняя цифра шифра студента
Диффундирующий элемент	УГЛЕРОД	СЕРА
Концентрация элемента в основном металле C ом, %	0,1	0,2	0,14	0,24	0,36	0,03	0,04	0,04	0,05	0,06
Концентрация элемента в металле шва С ош, %	0,2	0,4	0,06	0,08	0,12	0,05	0,06	0,02	0,03	0,04
Сила тока I, A
Скорость сварки uсв, м/с	7´10-3	8´10-3	9´10-3	7´10-3	8´10-3	9´10-3	7´10-3	8´10-3	9´10-3	7´10-3
Предпоследняя цифра шифра студента
Толщина d, мм		4,5		5,5		6,5		7,5		8,5
Напряжение U, В

 

Указания. Расчет поля концентрации заданных ликвирующих элементов вблизи границы сплавления (задача 1) ведут с помощью формул (27), (28) в предусмотренные за­данием моменты времени (табл. 3). Следует заметить, что функция ошибок Гаусса () вычисляется как стандартная подпрограмма матобеспечения современного компьютера или берется из справочных таблиц (например, [6]). Для рас­чета на компьютере концентрационных кривых С_L (х, t_i) и С_S (х, t_i), где t_i заданные моменты времени, следует выбрать шаг по пространственной координате – D x. Первая точка соответ­ствующей кривой определяется при x =0. Остальные нахо­дят при х=х ₀+ n D x, где n целое от 1 до такого значения, при котором концентрация ликвирующей примеси отлича­ется от исходной (С _{0 L} или С _{0 S}) не более, чем на 10%. Ве­личина D x определяется численным экспериментом, в каче­стве начального приближения можно положить D x =0,02 мм.

При выполнении задачи 2 по исходным данным (табл. 4) с помощью формул (36), (37) рассчитывают ши­рину сварного шва b, а по формулам (34), (35) время t _m, достижения максимальной температуры Т _m. Далее для точ­ки y = y _max (граница сплавления) рассчитывают по форму­ле (33) ветвь охлаждения (t ³ t _m) кривой термического цик­ла. Воспользовавшись формулами (30), (39), предварительно определяют нижнюю расчетную температуру Т _н кривой тер­мического цикла. При этом, для удобства вычислений фор­мулу (30) рационально предварительно прологарифмиро­вать. Шаг по времени D t для расчета кривой охлаждения с помощью формулы (33), можно выбрать как долю от t _m, например D t = t_m /3.

Для расчета эквивалентного времени t _э, температурный интервал Т_m…Т _н делят на 3…5 промежутков. В граничных точках T_i каждого промежутка с помощью (30) вычисляют D_i и затем по формуле (32) рассчитывают t _э. После этого ведут расчет точек концентрационной кривой С (х, t _э). Шаг D x по координате х выбирают на основе численных экспери­ментов, в качестве первого приближения можно положить D x= (мм). Расчеты прекращают при достижении кон­центрации в основном металле:

Все необходимые по каждому заданию расчеты рацио­нально проводить на компьютере в пределах одной программной единицы. В то же время, по усмотрению студентов, возможно исполь­зование и нескольких программных единиц.

В отчете по всем расчетным заданиям, в случае использования компьютера, следует привести кроме полученных результатов исходные данные, листинг программы и распечатку результатов счета на ЭВМ.