И поточечной сходимости функционального рядаФункциональный ряд, его сумма и область сходимости Определение функционального ряда Пусть в области Δ вещественных или комплексных чисел дана последовательность функций . Функциональным рядом называется сумма всех членов функциональной последовательности: . Определение области поточечной сходимости функционального ряда Множество всех точек, в которых сходится ряд называется областью поточечной сходимости этого ряда. Определение Суммы функционального ряда Функция такая, что для любой точки число является суммой числового ряда , называется суммой функционального ряда. То есть .
Равномерная и поточечная сходимость Определение равномерной и поточечной сходимости функционального ряда Пусть ряд сходится в области D к функции , и − некоторое множество. Ряд называется равномерно сходящимся на множестве , если , или: Если такой номер зависит не только от , но и от , т.е. , то ряд называется сходящимся поточечно (неравномерно) в . Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости) Если при любом выполняется неравенство , а числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в области равномерно.
|