Свойства равномерно сходящихся рядовСвойство 1 (о непрерывности суммы ряда ) Если члены ряда непрерывны в области , и ряд сходится равномерно в этой области, то его сумма непрерывна в . Свойство 2 (о почленном интегрировании ряда) Если члены ряда непрерывны на некоторой дуге , и ряд сходится равномерно на этой дуге к функции , то ряд можно почленно интегрировать вдоль этой дуги, т.е. Свойство 3 (о почленном дифференцировании ряда с вещественными членами) Пусть дан ряд с вещественными членами , члены которого на отрезке непрерывны вместе со своими производными. Если на данный ряд сходится к функции , а ряд из производных сходится равномерно на , то функция дифференцируема на и при этом .
Степенные ряды Определение степенного ряда Функциональный ряд вида называется степенным рядом, где – вещественные или комплексные числа, не зависящие от , называются коэффициентами степенного ряда; – фиксированное число, называется центром сходимости степенного ряда. Если , то степенной ряд имеет вид . Теорема Абеля Если ряд сходится в точке , то он сходится абсолютно при любом , удовлетворяющем неравенству: ; при этом он сходится равномерно на любом промежутке . Если ряд в точке расходится, то он расходится во всех точках , для которых
|