Основы теории нечетких множеств

Значения лингвистической переменной (ЛП) определяются через так назы­ваемые нечеткие множества (НМ), которые в свою очередь определены на некотором базовом наборе значений или базовой числовой шкале, имеющей размерность. Каждое значение ЛП определяется как нечеткое множество (например, НМ "низкий рост").

Нечеткое множество определяется через некоторую базовую шкалу В и функцию принадлежности НМ — (х), х B Д принимающую значения на интервале [0; 1]. Таким образом, нечеткое множество B — это совокупность пар вида (х, (х)), где х В. Часто встречается и такая запись:

где х_i — i -е значение базовой шкалы.

Функция принадлежности определяет субъективную степень уверенности эксперта в том, что данное конкретное значение базовой шкалы соответст­вует определяемому НМ. Эту функцию не стоит путать с вероятностью, но­сящей объективный характер и подчиняющейся другим математическим зависимостям.

Например, для двух экспертов определение НМ "высокая" для ЛП "цена автомобиля" в условных единицах может существенно отличаться в зависи­мости от их социального и финансового положения.

"Высокая_цена_автомобиля_1" = {50000/1 + 25000/0.8 + 10000/0.6 + 5000/0.4}

"Высокая_цена_автомобиля_2" = {25000/1 + 10000/0.8 + 5000/0.7 + 3000/0.4}

Пусть перед нами стоит задача интерпретации значений ЛП "возраст", таких как "молодой" возраст, "преклонный" возраст или "переходный" возраст. Определим "возраст" как ЛП (рис. 1.8). Тогда "молодой", "преклонный", "переходный" будут значениями этой лингвистической переменной. Более полно, базовый набор значений ЛП "возраст" следующий:

В = {младенческий, детский, юный, молодой, зрелый, преклонный, старческий}.

Рис. 1.8. Лингвистическая переменная "возраст" и нечеткие множества, определяющие ее значения

Для ЛП "возраст" базовая шкала — это числовая шкала от 0 до 120, обозна­чающая количество прожитых лет, а функция принадлежности определяет, насколько мы уверены в том, что данное количество лет можно отнести к данной категории возраста. На рис. 1.9 отражено, как одни и те же значе­ния базовой шкалы могут участвовать в определении различных НМ.

Например, определить значение НМ "младенческий" можно так:

 

Рис. 1.10 иллюстрирует оценку НМ неким усредненным экспертом, который ребенка до полугода с высокой степенью уверенности относит к младенцам (μ = 1). Дети до четырех лет причисляются к младенцам тоже, но с меньшей степенью уверенности (0,5 < μ < 0,9), а в десять лет ребенка на­зывают так только в очень редких случаях — к примеру, для девяностолетней бабушки и 15 лет может считаться младенчеством. Таким образом, нечеткие множества позволяют при определении понятия учитывать субъективные мнения отдельных индивидуумов.