Задачі підвищеної складності. Задача № 1.Функція розподілу системи двох випадкових величин (Х, Y) являє собою прямий круговий конусЗадача № 1. Функція розподілу системи двох випадкових величин (Х, Y) являє собою прямий круговий конус. Основою конуса є коло K із центром у точці початку координат та із радіусом r 0, за межами цього кола у площині (x, y) густина розподілу ймовірності дорівнює 0. 1. Записати математичний вираз для функції густини ймовірності f (x, y). Побудувати графік цієї функції. 2. Знайти функції розподілу одномірних величин f (x) та f (y). Побудувати графіки цих функцій. 3. Визначити, чи є величини Х та Y залежними. 4. Визначити, чи є величини Х та Y корельованими. Задача № 2. Система двох випадкових величин (Х, Y) має наступний закон розподілу густини ймовірності:
1. Обчислити значення коефіцієнта a. Побудувати графік функції f (x, y). 2. Знайти функції розподілу густини ймовірностей одновимірних величин f (x) та f (y). Побудувати графіки цих функцій. 3. Визначити, чи є величини x та y залежними. 4. Знайти ймовірність попадання випадкової точки (Х, Y) у квадрат із центром у точці початку координат та із сторонами, які паралельні осям координат та мають довжину b = 2. Задача № 3. Функція розподілу системи двох випадкових величин (Х, Y) являє собою прямий круговий циліндр, центр основи якого співпадає із точкою початку координат, а висота дорівнює h. 1. Визначити радіус циліндра. Побудувати графік функції розподілу густини ймовірності f (x, y). 2. Знайти функції розподілу густини ймовірності одномірних величин f (x) та f (y). Побудувати графіки цих функцій. 3. Знайти умовні функції розподілу густини ймовірності f (x | y) та f (y | x). Побудувати графіки цих функцій. 4. Знайти математичне сподівання величини X, її дисперсію, середнє квадратичне відхилення та кореляційний момент. Задача № 4. Система двох випадкових величин (Х, Y) розподілена за круговим нормальним законом із середнім квадратичним відхиленням σ, тобто функція густини ймовірності цієї системи величин записується наступним чином:
1. Побудувати графік функції розподілу густини ймовірності f (x, y). 2. Замінити наближено цей закон розподілу законом із постійною густиною ймовірності у колі. При цьому радіус кола r 0 підібрати таким чином, щоб зберігалися незмінними дисперсії випадкових величин D [ X ] та D [ Y ]. Під час розв’язування цієї задачі доцільно використовувати результати розв’язку задачі 3. 3. Замінити наближено цей закон розподілу законом із функцією, яка створюється прямим круговим конусом, центр основи якого лежить у точці початку координат. Радіус основи конуса r 0 також підібрати, виходячи із умови рівності дисперсій. Під час розв’язування цієї задачі доцільно використовувати результати розв’язку задачі 1. Задача № 5. Випадкова точка (Х, Y) розподілена із постійною густиною ймовірності у квадраті, вершини якого мають координати: (1, 0), (0, 1) (-1, 0) та (0, -1). 1. Записати математичний вираз для функції густини ймовірності f (x, y). Побудувати графік цієї функції. 2. Знайти функції розподілу густини ймовірності одномірних величин f (x) та f (y). Побудувати графіки цих функцій. 3. Записати математичні вирази для умовних функцій розподілу густини ймовірності f (x | y) та f (y | x). Побудувати графіки цих функцій. 4. Визначити, чи є випадкові величини x та y залежними. 5. Визначити, чи є випадкові величини x та y корельованими. Задача № 6. Вивести формулу (8.24) із формули (8.22). Задача № 7. Довести нерівність (8.27). Пояснити, у яких випадках коефіцієнт кореляції має додатне, а у яких – від’ємне значення. Задача № 8. Довести формули (8.28) – (8.30). Задача № 9. Довести формули (8.31) – (8.32). Задача № 10. Довести формулу (8.38), вважаючи, що випадкові величини X 1, X 2, …, Xk розподілені за експоненціальним законом. Задача № 11. Довести, що якщо величини X 1 та X 2 розподілені за законом гама-розподілу, то величина X = X 1 + X 2 також підлягає закону гама-розподілу. Задача № 12. Довести формули (8.39). Задача № 13. Довести формулу χ2 – розподілу (8.41). Задача № 14. Довести формули (8.42). Задача № 15. Довести формули лінійних перетворень для двовимірного нормального розподілу (8.46). Задача № 16. Довести формули (8.47) та (8.48). Задача № 17. Довести центральну граничну теорему Ляпунова.
|
