Метод плоских посредниковЗадача: Построить линию пересечения двух поверхностей вращения: конуса (Φ1) и сферы (Φ2). Графическое оформление задачи приведено на рис. 7.
Рис. 7
Символическая запись условия задачи: Φ1, Φ2; Φ1 ∩ Φ2 = ℓ;? Анализ и решение задачи: 1) пересекаются две поверхности вращения второго порядка, следовательно, линия пересечения ℓ; является кривой четвертого порядка. 2) так как вид пересечения – «врезка» (несквозное пересечение), то получается одна линия пересечения ℓ;. 3) поверхности имеют общую плоскость симметрии α;1, параллельную фронтальной плоскости проекций, значит пересечение их фронтальных очерков дает пару характерных точек – верхнюю и - нижнюю. 4) в качестве посредников для последующих построений в этой задаче целесообразно принимать горизонтальные плоскости α;2, α;3 и т. д., поскольку линии пересечения ими каждой из поверхностей являются наипростейшими (окружностями). 5) границей зоны видимости искомой кривой ℓ; для горизонтальной плоскости проекций является экватор сферы, поэтому плоскость – посредник α;2 проведенная через экватор сферы Φ2, дает на втором шаге алгоритма принадлежащие экватору точки 2 и , являющиеся границами зоны видимости для горизонтальной плоскости проекций. Эти же точки являются самыми левыми. 6) границами видимости для фронтальной плоскости проекций являются главные фронтальные меридианы и принадлежащие им точки 1 и . Таким образом, построение линии пересечения поверхностей сводится к следующему. Во-первых, проводим плоскость α;1, параллельную фронтальной плоскости проекций через оси i и ј поверхностей. На горизонтальной плоскости проекций – это след-проекция , параллельная оси х. На фронтальной проекции находим точки пересечения очерков . Сносим полученные точки на горизонтальный след-проекцию плоскости α;1 с учетом видимости (точка ' – видимая, – невидимая). Записываем первый шаг алгоритма в виде: 1) где точка 1 – верхняя, точка - нижняя. Отметим, что алгоритм записывается для пространства, а построение проекций точек и линии ℓ производится для каждой плоскости проекций с обязательным обозначением всех элементов построения. Во-вторых, через экватор сферы Φ2 проводим плоскость-посредник α;2, параллельную горизонтальной плоскости проекций (см. ). Параллели m 2 и n 2 фронтальной проекции неразличимы, так как их проекции m 2" и n 2" частично накладываются друг на друга. Поэтому строим их горизонтальные проекции m 2' и n 2', как окружности соответствующих радиусов и точки их пересечения. Фронтальные проекции " этих точек находим на след-проекции плоскости α;2 по линиям проекционной связи. Записываем второй шаг алгоритма: 2) точка 2 – левая ближняя, точка - левая дальняя. Обе точки – границы видимости. В-третьих, произвольно проводим плоскость α;3, параллельную плоскости . Аналогично второму шагу, находим горизонтальные проекции линий пересечения этой плоскости с каждой поверхностью и горизонтальные проекции точек , а затем на следе-проекции – фронтальные проекции этих точек. Записываем третий шаг алгоритма: 3) - произвольные точки. Аналогично можно было бы получить точки под номерами 4, 5 и т. д., но для данной задачи в этом нет необходимости, так как характер и форма кривой определены достаточно полно. В-четвертых, соединяем полученные точки между собой. Поскольку искомая кривая ℓ; является замкнутой, ее построение можно начинать с любой точки и в любом направлении, например . Заключительный этап алгоритма может быть записан в виде:
ℓ; = или ℓ = .
|