Глава. 2. Закони збереження й принцип симетрії.

§ 8. Перші інтеграли рівнянь руху й закони збереження.

Стан руху вільної механічної системи, що складається з n -матеріальних точок, як було показано в § 6, повністю визначається в кожен момент часу t набором величин:

(8.1)

Хоча в процесі руху системи величини (8.1) змінюються, проте можна вказати такі функції цих змінних й, у загальному випадку, часу t, які при русі системи зберігають сталі значення , обумовлені початковими умовами:

. (8.2)

Функції (8.2) називають першими інтегралами диференціальних рівнянь руху (або, коротше, інтегралами руху). Те, що такі функції існують, видно із загального ходу розв’язок основної задачі динаміки (див. § 6): в якості функції можна взяти сталі інтегрування С_к, розглянуті як розв’язок системи рівнянь (6.3) і (6.4); у якості беруться значення С_к0 цих сталих С_к у початковий момент часу t ₀:

, , (8.3)

де

. (8.4)

Це просте схематичне обговорення не повинне «затемнити» той факт, що проблема пошуку всіх інтегралів руху – це найскладніша (у загальному випадку) математична задача, що далеко не завжди вирішується в явному вигляді. Дійсно, як показується в теорії звичайних диференціальних рівнянь, знання сукупності 6n -незалежних перших інтегралів (8.2) еквівалентно знаходженню загального розв’язку системи (6.1') у явному вигляді, а знання яких-небудь r<6n перших інтегралів дає можливість понизити порядок r рівнянь руху й тим самим істотно спростити розв’язок динамічної задачі. Одержати ж закони руху (6.3) – (6.4) і їх розв’язок (8.3) у явному вигляді можна тільки для такої системи рівнянь (6.1'), для якої можливий повний розподіл змінних. Тому при розв’язку нетривіальних задач механіки звичайно задовольняються вже тим і тоді, коли вдається порівняно просто одержати хоча б декілька перших інтегралів руху загального типу (8.2) і полегшити тим самим задачу інтегрування рівнянь руху.

Важливо відзначити, що далеко не всі перші інтеграли мають однакову «цінність» у механіці (і в інших розділах фізики). Серед них є кілька таких інтегралів руху, сталість яких істотно пов'язане з постулатами про простір і час, особливо із симетріями простору й часу (їхньою однорідністю й ізотропністю). Ці інтеграли руху, що мають загальний вид:

, (8.5)

виділяють в особливу групу й називають законами збереження.

Існування зазначених інтегралів руху, їхня кількість, явний вигляд і зв'язок із симетріями простору й часу встановлюється так званою теоремою Нетер.

Крім зв'язку із властивостями простору й часу, величини, що зберігаються типу (8.5) мають наступні чудові властивості:

1) адитивності: значення цих фізичних величин для системи, що складається з не взаємодіючих між собою матеріальних точок, дорівнює сумі значень тих же величин для кожної точки окремо, тобто:

; (8.6)

2) про виконання для будь-якої механічної системи законів збереження (8.5) можна судити по найбільш загальним ознакам цієї системи, не прибігаючи до аналізу її рівнянь руху - досить тільки з'ясувати, до якого з перерахованих наприкінці § 7 класу вільних механічних систем відноситься розглянута система. Цією властивістю інтеграли руху загального виду (8.2) не володіють - інформацію про їх можна одержати тільки шляхом попереднього аналізу диференціальних рівнянь руху.

Відзначені особливості інтегралів руху (8.5) зводять їх у ранг найбільш фундаментальних законів природи – законів збереження. Усього існує сім таких фізичних величин, що зберігаються: енергія, три компоненти імпульсу й три компоненти момент імпульсу.

Зауваження. Глибокий зв'язок між перерахованими законами збереження й симетріями простору та часу був усвідомлений фізиками тільки в ХХ-му столітті. Роль законів збереження й симетрій (як згаданих, так й інших) в розвитку сучасної фізики настільки велика, що вони в цей час зведені в ранг методологічних принципів фізики – принципу збереження й принципу симетрії. Особливо велика роль цих принципів при дослідженні таких фізичних об'єктів, закони руху яких ще не відкриті.

§ 9. Закон збереження енергії і його зв'язок з однорідністю часу.

У формулюванні будь-якого закону збереження головним є вказівка такого класу механічних систем, для якого та або інша фізична величина зберігається. Для вільних механічних систем головною виявляється їхня класифікація за допомогою поняття повної потенціальної енергії, наведена наприкінці § 7. Дійсно, як ми переконаємося нижче в цій главі, саме поняття повної потенціальної енергії можна використати в якості основної фізичної величини, здатної адекватно характеризувати інваріантні (відносно перетворень простору й часу) властивості вільних механічних систем (величиною, що найбільше повно описує інваріантні властивості як вільних, так і зв'язаних механічних систем, є функція дії).

Розглянемо такі вільні механічні системи, для яких можна ввести поняття повної потенціальної енергії . Запишемо повну похідну по часом від U (див. (7.19)):

. (9.1)

Далі, з однорідності часу випливає, що існують такі механічні системи, повна потенціальна енергія яких від часу явно не залежить, тобто

, (9.2)

або, що те ж саме,

 

. (9.2')

 

Дійсно, однорідність часу означає фізичну рівноправність всіх моментів часу для таких систем, тобто інваріантність (незмінність) рівнянь руху (7.13), а отже й потенціальної енергії U при будь-яких, у тому числі й нескінченно малих, «зсувах» у часі, тобто перетвореннях часу вигляду:

 

, (9.3)

 

де δt – довільний нескінченно малий інтервал часу. Формальне збільшення U потенціальної енергії при «трансляції» у часі (9.3) можна записати у вигляді:

 

. (9.4)

 

Однак насправді внаслідок однорідності часу ніякої зміни потенціальної енергії системи не відбувається, тобто δU = 0, тому в силу дозвілля δt з (9.4) одержуємо (9.2). Враховуючи тепер результати § 7, дійдемо висновку, що умова (9.2) і, отже, (9.2’) виконується тільки для замкнутих механічних систем і систем, що перебувають у стаціонарних потенціальних силових полях (див. (7.15) – (7.17)).

Покажемо тепер, що наслідком (9.2) або (9.2') є деякий закон збереження. Для цього перетворимо (9.2') за допомогою рівнянь руху (7.13)

, . (9.5)

 

Помножуючи i-е рівняння системи (9.5) скалярно на вектор та враховуючи очевидну рівність:

, (9.6)

 

одержуємо систему рівнянь:

 

, , (9.7)

 

рівносильну системі (9.5). Складаючи почленно рівняння (9.7), одержуємо рівняння:

 

. (9.8)

 

За допомогою (9.8) умову (9.2') можна тепер переписати в остаточному вигляді:

 

. (9.9)

 

Рівняння (9.9) показує, що в процесі руху розглянутих систем зберігається скалярна величина:

 

, (9.10)

 

яку називають повною механічною енергією системи; вона складається із двох істотно різних членів: кінетичної енергії системи (див. § 3)

, (9.11)

 

залежної від швидкості матеріальних точок, і потенціальної енергії U (див. § 7), що залежить від їхніх координат. Неважко бачити, що Е має властивість адитивності: для систем не взаємодіючих між собою часток маємо (див. (8.6))

; , (9.12)

 

де Е_i – повна механічна енергія окремої матеріальної точки. Механічні системи, у яких повна енергія зберігається, називаються консервативними, а (9.2) називають умовою консервативності вільної системи.

Таким чином, закон збереження механічної енергії можна сформулювати так: наслідком однорідності часу є збереження механічної енергії в замкнутих механічних системах і системах, що перебувають у стаціонарних потенціальних силових полях.

Зауваження 1. З викладеного легко бачити, що для систем, що перебувають у нестаціонарних потенціальних силових полях, повна механічна енергія змінюється за законом (див. § 7)

 

. (9.13)

 

Зауваження 2. Для дослідження енергетичних перетворень у системах, підданих дії не потенціальних сил, використають теорему про зміну кінетичної енергії, обговорення якої ми тут опускаємо.

Зауваження 3. Закон збереження (9.10) для консервативної системи варто розуміти і як закон перетворення механічної енергії, тому що в процесі руху такої системи відбувається безперервне перетворення її кінетичної енергії в потенціальну і навпаки. В цьому відношенні (9.10) є окремим випадком загального закону збереження й перетворення енергії різних форм руху матерії.

 

§ 10. Закон збереження імпульсу і його зв'язок з однорідністю простору.

 

Розглянемо замкнену механічну систему n- взаємодіючих між собою матеріальних точок.

У силу однорідності простору рівняння руху (9.5) повинне бути інваріантне (незмінне) при будь-якому паралельному переносі замкнутої системи як одного цілого в просторі. Ясно, що при цьому не повинно бути й ніякої зміни потенціальної енергії системи , що суттєво визначає форму рівнянь (9.5). Ця інваріантність U накладає сильні обмеження на її явний вигляд: може бути тільки функцією взаємних положень точок системи, тобто функцією змінних вигляду .

Математично паралельний перенос (зсув) системи в просторі на довільний нескінченно малий вектор записується у вигляді:

 

, . (10.1)

 

Зміну U при цьому перетворенні координат формально можна записати в такий спосіб:

. (10.2)

 

Однак,через те, що ніякої зміни U насправді не відбувається, то ; тому з огляду на те, що , з врахуванням (10.2) одержуємо для замкнутої системи:

 

. (10.3)

 

Далі, записуючи рівняння руху (9.5) у вигляді:

 

, . (10.4)

 

і сумуючи їх почленно, маємо рівняння:

 

. (10.5)

 

За допомогою (10.5) перепишемо умову (10.3) у наступному остаточному вигляді:

 

. (10.6)

 

Рівняння (10.6) показує, що в процесі руху замкнутої системи зберігається її імпульс (див. § 3)

. (10.7)

 

Так як (10.7) – векторна рівність, еквівалентне трьом скалярним:

 

(10.8)

 

то можна сказати, що з однорідністю простору зв'язані три перших інтеграли руху замкнутої механічної системи. Адитивність вектора імпульсу системи очевидна з його визначення; важливо відзначити, що на відміну від енергії імпульс системи дорівнює сумі імпульсів

; (10.9)

окремих матеріальних точок незалежно від того, можна або не можна знехтувати їхньою взаємодією між собою.

Таким чином, закон збереження імпульсу можна сформулювати так: наслідком однорідності простору є збереження імпульсу замкнутої механічної системи.

Зауваження 1. Закон збереження механічного імпульсу (10.7) є частковим випадком загального закону збереження й перетворення імпульсу різних форм руху матерії. Отже, щоразу, коли ми зіштовхуємося з незбереженням імпульсу замкнутоїмеханічної системи, то причину зникнення механічного імпульсу варто шукати в перетворенні деякої його частини в імпульс інших форм або видів руху матерії (або в помилковості нашого припущення про замкнутість системи в більш широкому, фізичному змісті).

Зауваження 2. Незбереження імпульсу в незамкнутій системі не виключає можливість збереження окремих складових імпульсу. Більше того, з викладеного ясно видно, що якщо зовнішнє силове поле має трансляційну симетрію вздовж деякого напрямку в просторі, то потенціальна енергія системи не змінюється при паралельному переносі цієї системи як цілого вздовж (тобто ), тому в такій системі зберігається проекція вектора імпульсу на зазначений напрямок (тобто або ).