Потенціальна енергія і класифікація вільних механічних систем.

 

У фізиці часто доводиться розглядати рух часток у силових полях найрізноманітнішої фізичної природи. Під силовим полем ми будемо розуміти частину простору, у кожній точці якої на поміщену туди матеріальну частинку діє сила, величина й напрямок якої залежать або тільки від координат цієї точки, або від координат і часу (у першому випадку силове поле називається стаціонарним, а в другому - нестаціонарним).

Розглянемо рух матеріальної точки в деякому силовому полі. Мірою дії силового поля на цю точку є робота силового поля по її переміщенню, що згідно (3.17) дорівнює

.

Хоча в загальному випадку силових полів цей криволінійний інтеграл залежить від конкретного вигляду кривої, що з'єднує точки А и В, однак існує такий клас силових полів, для яких робота не залежить від форми шляху. Цей останній випадок можливий тоді, коли елементарну роботу можна представити у вигляді повного диференціала деякої скалярної функції координат :

. (7.1)

Умова (7.1) дозволяє представити роботу сили по кінцевому переміщенню точки у вигляді, що явно не залежить від форми шляху:

. (7.2)

Силові поля, що задовольняють умові (7.2) або (7.1), називають потенціальними силовими полями, а скалярну функцію - потенціальною енергією матеріальної точки в зовнішньому потенціальному силовому полі. Беручи невизначений інтеграл від лівої й правої частини (7.1), одержуємо вираз через задану силу :

. (7.3)

Звідси видно, що матеріальної точки визначена з точністю до адитивної довільної сталої С. Тому, перш ніж працювати з функцією як з потенціальною енергією, її необхідно попередньо прокалібрувати (пронормувати), вибравши довільним чином нульовий рівень потенціальної енергії. Наприклад, вважаючи в деякій фіксованій точці В , з (7.2) одержуємо:

. (7.4)

Звідси видно фізичний зміст : потенціальна енергія матеріальної точки, яка поміщена в довільній точці А силового поля, дорівнює роботі силового поля по переміщенню матеріальної точки з А в таку фіксовану точку В, у якій .

Для подальшого зручно мати диференціальну ознаку потенційності силового поля. Для цього зазначимо, що (7.2) еквівалентно умові:

(7.5)

рівності нулю роботи по замкненому шляху L. Застосовуючи до (7.5) математичну теорему Стокса

, (7.6)

де - довільне неперервне векторне поле, S – поверхня, натягнута на замкнутий контур L, - елемент поверхні S, одержуємо:

звідки в силу дозвілля S маємо диференціальну ознаку потенціальності:

. (7.7)

Таким чином, потенціальне силове поле – це безвихрове поле (силові поля, для яких , називаються вихровими).

З огляду на тотожність , з (7.7) одержуємо зв'язок між й :

, (7.8)

де - векторний диференціальний оператор набла (у декартових координатах .

Зауваження. Нестаціонарні силові поля також можуть бути потенціальними, якщо задовольняє умові потенціальності (7.7). У цьому випадку й також зв'язані між собою співвідношеннями вигляду (7.3) і (7.8).

Розглянемо тепер вільну систему n - взаємодіючих матеріальних точок, поміщених в зовнішнє потенціальних силове поле (стаціонарне або нестаціонарне). З вище сказаного слідує, що кожна i-а точка системи має потенціальну енергію в зовнішньому полі, тому можна ввести поняття потенціальної енергії системи в зовнішньому силовому полі по формулі:

. (7.9)

Далі, будемо припускати, що сили взаємодії між точками системи: 1) задовольняють третьому закону Ньютона й, отже, є потенціальними і центральними; 2) не залежать явно від часу (це наслідок однорідності часу й знехтування релятивістськими ефектами). Виявляється, що в цьому випадку можна ввести поняття енергії взаємодії матеріальних точок системи (або внутрішньої потенціальної енергії системи)

(7.10)

таким чином, що зв'язок між і рівнодіючої внутрішніх сил , які діють на i-у точку системи, запишеться у вигляді:

, (7.11)

повністю аналогічному (7.8).

Внутрішня потенціальна енергія системи (7.10) залежить від взаємного положення матеріальних точок і не є адитивною на відмінність від (див. формулу (7.9)). Тому є енергетична характеристика всієї системи в цілому.

Величину

(7.12)

називають повною потенціальною енергією системи.

Систему рівнянь руху (6.1'), для вільної системи, що перебуває в зовнішньому потенціальному силовому полі, будемо далі записувати у вигляді:

(7.13)

з урахуванням (7.11) і аналогічної формули:

, (7.14)

яка є наслідком (7.8) і (7.9).

Тепер, користуючись поняттям повної потенціальної енергії, вся нескінченна множина вільних механічних систем може бути розбита на наступні чотири класи:

1) Замкнуті, або ізольовані, системи. Для таких систем повна потенціальна енергія зводиться до внутрішнього:

, (7.15)

тому її зміна з часом обумовлена тільки зміною положення часток і для повної похідної за часом від U маємо (з врахуванням )

. (7.16)

2) Системи, що перебувають у зовнішніх стаціонарних й потенціальних силових полях. Для таких систем і для повної потенціальної енергії маємо

, (7.17)

а її повна похідна за часом визначається виразом (7.16).

3) Системи, що перебувають у зовнішніх нестаціонарних потенціальних силових полях. Для систем цього класу також можливе введення функції повної потенціальної енергії, однак вона буде явно залежати від часу:

, (7.18)

і тому її повна похідна за часом буде визначатися виразом:

. (7.19)

4) Всі інші вільні механічні системи. До цього класу ми віднесемо системи, що перебувають у вихрових силових полях; системи, піддані впливу сил тертя й т.д. Для таких систем неможливо ввести функцію повної потенціальної енергії і їхня поведінка підкоряється рівнянням руху загального вигляду (6.1'), у той час як поведінка систем класів 1) - 3) підкоряється рівнянням руху (7.13).

Зауваження. Поняття повної потенціальної енергії дозволяє ввести поняття про повну механічну енергію системи й описувати всі механічні властивості таких систем за допомогою обмеженого числа скалярних функцій – енергій (що значно простіше опису за допомогою векторних функцій – сил). Ця ідея одержує свій повний розвиток в аналітичній механіці.

Наведена класифікація вільних механічних систем здійснена тут за наступними двома ознаками: 1) можливо або неможливо для даного класу систем введення повної потенціальної енергії?; 2) залежить або не залежить явно від часу потенціальна енергія (при позитивній відповіді на перше питання)? Така класифікація істотно використовується при розгляді законів збереження (див. гл. 2) і багатьох інших проблем механіки.